Poissonsche Summenformel

Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Aussage

Sei $f\in 𝒮(ℝ)$ eine Schwartz-Funktion und sei

$\hat{f}(\omega )=ℱ(f)(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-2\pi i\omega \cdot t}dt$

die kontinuierliche Fourier-Transformation von $f$ in $𝒮$. Dann besagt die poissonsche Summenformel

$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k).$

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion $f$ zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck $(1+t^2)(|f(t)|+|f^{″}(t)|)$ beschränkt ist.

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern $t,\nu \in ℝ$

$\begin{array}{cc}\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(t+nT)e^{-2\pi i\nu nT}& =\sum _{k\in \mathbb{Z}}ℱ(f(t+kT)e^{-2\pi i\nu kT})(k)\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k\in \mathbb{Z}}ℱ(f(t+k)e^{-2\pi i\nu k})\left(\frac{k}{T}\right)\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k\in \mathbb{Z}}ℱ(f(t+k))(\frac{k}{T}+\nu )\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{2\pi i(k/T+\nu )t}ℱ(f)(\frac{k}{T}+\nu ).\end{array}$

Setzt man in der allgemeineren Form $t=0$,

$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(nT)e^{-2\pi i\nu nT}=\frac{1}{T}\sum _{k\in \mathbb{Z}}ℱ(f)(\frac{k}{T}+\nu ),$

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von $f$ als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von $f$ auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn $f$ eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in $L^2(ℝ)$ mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge $T\in ℝ$ ist die Distribution

${\text{Ш}}_T=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{\delta }_{nT}.$

Die Fourier-Transformierte $ℱA\in {𝒮}^{\prime }(ℝ)$ einer temperierten Distribution $A\in {𝒮}^{\prime }(ℝ)$ ist definiert durch

$⟨ℱA,\varphi ⟩=⟨A,ℱ\varphi ⟩(\varphi \in 𝒮(ℝ)),$

in Analogie zur Plancherel-Identität. Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass

$ℱ{\text{Ш}}_T=\frac{1}{T}{\text{Ш}}_{1/T}$

ist. Dies lässt sich auch in der Form

${\text{Ш}}_T=\frac{1}{T}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{i(2\pi k/T)t}$

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis

Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

$g(t):=\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(t+n)$

stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,

$g(t)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_k\cdot e^{2\pi ikt}.$

Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel

$c_k=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(t)\cdot e^{-2\pi ikt}dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(t+n)\cdot e^{-2\pi ik(t+n)}dt.$

Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

$c_k=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(s)\cdot e^{-2\pi iks}ds=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(s)\cdot e^{-2\pi iks}ds=ℱf(k).$

Zusammenfassend gilt

$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(t+n)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}ℱf(k)e^{2\pi ikt},$

woraus sich bei $t=0$ die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen

Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt $\mathrm{supp}\hat{x}\subset [-W,W]$. Ist dann $|WT|\le \pi ,$ so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen $\omega :=-2\pi \nu \in [-W,W]$, t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man

$\sqrt{2\pi }\hat{x}(\omega )e^{i\omega t}=T\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)e^{i\omega (t-nT)}.$

Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich

$x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-W}{\overset{W}{\int }}\hat{x}(\omega )e^{i\omega t}d\omega =T\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)\frac{\sin (W(t-nT))}{\pi (t-nT)}.$

Im Grenzfall $WT=\pi$ ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

$x(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}x(nT)\mathrm{sinc}(t/T-n),$

wobei $\mathrm{sinc}$ die Sinc-Funktion mit $\mathrm{sinc}(t):=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}$ ist.

Anwendungen in der Zahlentheorie

Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die Theta-Funktion

$\theta (t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{-n^2\pi t}$

der Transformationsformel

$\theta (t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\theta \left(\frac{1}{t}\right)$

genügt. Diese Transformationsformel wurde von Bernhard Riemann beim Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, Vorlage:ISSN, S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
• John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, Vorlage:ISSN, S. 505–523, online.