Dirac-Kamm

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distribution Gebrauch macht.

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (t-nT)$

für eine Periode $T>0$. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand $T$ zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion $\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(ℝ)=𝒟(ℝ)$ gilt

${\mathrm{\Delta }}_T\varphi :=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\varphi (nT)$.

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt

$ℱ\{{\mathrm{\Delta }}_T\}=\frac{1}{T}{\mathrm{\Delta }}_{\frac{1}{T}},$

wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention

$ℱ\{f(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi \mathrm{i}tx}\mathrm{d}x$

verwendet wird.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.

Literatur

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