P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$. Eine σ-Algebra $𝒪\subset 𝒜$ heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle $O\in 𝒪$ gilt, dass entweder $P(O)=0$ oder $P(O)=1$ ist.

Elementare Beispiele

• Die triviale σ-Algebra $\{\mathrm{\Omega },\mathrm{\varnothing }\}$ ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer $P(\mathrm{\Omega })=1$ und $P(\mathrm{\varnothing })=0$ gefordert wird.
• Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße $P_1,P_2$ gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also $\mathrm{\Omega }=N_1\cup N_2$ und $N_1\cap N_2=\mathrm{\varnothing }$, so dass $P_1(N_1)=0$ und $P_2(N_2)=0$. Dann ist die σ-Algebra $\{\mathrm{\Omega },\mathrm{\varnothing },N_1,N_2\}$ sowohl $P_1$-trivial als auch $P_2$-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich $P_1(N_2)=1$ und $P_2(N_1)=1$, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

• Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
• Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ ist eine P-triviale σ-Algebra $𝒪\subset 𝒜$ von jedem anderen Mengensystem $ℳ\subset 𝒜$ unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn $𝒪$ P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert $\mathrm{E}(X|𝒪)=\mathrm{E}(X)$, denn $\sigma (X)$ und $𝒪$ sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L^p-Ergodensatz.

Literatur

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