Austauschbare σ-Algebra

Die austauschbare σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik, dessen Elemente invariant unter gewissen Permutationen sind. Austauschbare σ-Algebren treten beispielsweise im Kontext von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen oder dem 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage auf.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess $X=(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, wobei jedes $X_n$ Werte in $E$ habe. Sei

${𝐅}_n:=\{f|f:E^{\mathbb{N}}\to ℝ\text{ ist messbar und n-symmetrisch }\}$

die Menge aller messbaren n-symmetrischen Abbildungen.

Definiere

${𝒮}_n:=\sigma ({𝐅}_n)$

die von diesen Funktionen erzeugte σ-Algebra. Dann ist

${ℰ}_n:=X^{-1}({𝒮}_n)$

die σ-Algebra aller unter Permutationen der ersten $n$ Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse. Die austauschbare σ-Algebra ist dann definiert als

$ℰ=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{ℰ}_n$

und somit die σ-Algebra aller unter Permutationen endlich vieler Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse.

Beziehung zur terminalen σ-Algebra

Die terminale σ-Algebra ist stets in der austauschbaren σ-Algebra enthalten, denn mit der Darstellung für die terminale σ-Algebra

$𝒯=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )$

ist immer

$\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset {ℰ}_n$

und damit

$𝒯=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{ℰ}_n=ℰ$.

Es lassen sich auch Beispiele konstruieren, bei denen die austauschbare σ-Algebra Mengen enthält, die nicht in der terminalen σ-Algebra enthalten sind. Die austauschbare σ-Algebra ist dann echt größer als die terminale σ-Algebra. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn $|E|>1$ ist, da dann ein $B\in ℬ(E)\setminus \{\mathrm{\varnothing },E\}$ existiert und $S=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{𝟏}}_B(X_i)$ zwar $ℰ$-messbar ist, aber $\{S=s\}\notin 𝒯$ für $s\in \mathbb{N}$. Hier ist die Inklusion strikt.

Umgekehrt lässt sich zeigen, dass für eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen $X=(X_1,X_2,\dots )$ zu jeder Menge $A\in ℰ$ ein terminales Ereignis $B\in 𝒯$ existiert, so dass $P(A\mathrm{△}B)=0$ (der umgekehrte Schluss ist wegen $𝒯\subset ℰ$ trivial). Zu jeder Menge aus der austauschbaren σ-Algebra existiert also eine Menge in der terminalen σ-Algebra, so dass die Differenz eine Nullmenge wird.

Daraus lässt sich sofort das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ableiten, nämlich dass die austauschbare σ-Algebra einer unabhängig identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen eine P-triviale σ-Algebra ist. Nach dem kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz ist dann nämlich die terminale σ-Algebra P-trivial und aufgrund des obigen Ergebnisses auch die austauschbare σ-Algebra.

Literatur

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