Milnor-Sphäre

Eine Milnor-Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, welche homöomorph, aber nicht diffeomorph zur siebendimensionalen Sphäre ist. Es gibt 27 Milnor-Sphären. Konstruiert wurden diese erstmals von John Milnor im Jahr 1956 und waren historisch die ersten Beispiele für exotische Sphären.

Sieben Dimensionen

Die gewöhnliche $7$-Sphäre $S^7$ ist ein $S^3$-Faserbündel über $S^4$, bekannt als quaternionische Hopf-Faserung.

Da der orientierte Bordismusring ${\mathrm{\Omega }}_7^{\mathrm{SO}}$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^7$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^8$ ist.

Konstruktion

Ein $S^3$-Faserbündel lässt sich allgemein als Sphärenbündel eines vierdimensionalen reellen Vektorbündels darstellen. Über der $4$-Sphäre $S^4$ (welche sich als Verklebung von zwei $4$-Scheiben $D^4$, der Nord- und Südhalbkugel, an ihrem Rand $S^3$, dem Äquator, darstellen lässt), ergibt sich jedes vierdimensionale reelle Vektorbündel als Verklebung von zwei trivialen vierdimensionalen reellen Vektorbündeln über den beiden $4$-Scheiben $D^4$ (nicht trivial ist nicht möglich, da $D^4$ zusammenziehbar ist) entsprechend einer Abbildung $S^3\to {\mathrm{GL}}_4(ℝ)$ an ihrem Rand $S^3$. Das dadurch konstruierte Vektorbündel hängt nur von der Homotopieklasse der Abbildung ab. Es besteht sogar eine Bijektion:

${\mathrm{Vect}}_{ℝ}^4(S^4)\cong {\pi }_3{\mathrm{GL}}_4(ℝ)$.

In englischer Literatur ist diese Konstruktion (mit Vektorbündeln allgemeinen Ranges über Sphären allgemeiner Dimension, wofür ${\mathrm{Vect}}_{ℝ}^n(S^k)\cong {\pi }_{k-1}{\mathrm{GL}}_n(ℝ)$) als Clutching Construction bekannt.

Für jedes Paar $(h,k)\in {\mathbb{Z}}^2$ ganzer Zahlen gibt es daher bis auf Isomorphie ein vierdimensionales reelles Vektorbündel ${\xi }_{h,k}:E_{h,k}\to S^4$ über $S^4$. Für die Euler-Klasse und erste Pontrjagin-Klasse dieses Vektorbündels gilt:

$e({\xi }_{h,k})=(h+k)e({\gamma }_{ℍ}^{1,1})$

$p_1({\xi }_{h,k})=2(h-k)e({\gamma }_{ℍ}^{1,1})$,

wobei ${\gamma }_{ℍ}^{1,1}$ das tautologische Linienbündel über der quaternionischen projektiven Gerade $ℍP^1\cong S^4$ ist.

Das Sphärenbündel $S(E_{h,k})$, eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, ist nun der Rand des Scheibenbündels $D(E_{h,k})$, einer achtdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Mithilfe von Morse-Theorie lässt sich zeigen, dass $S(E_{h,k})$ für $|h+k|=1$ homöomorph zur $7$-Sphäre $S^7$ ist. Wäre $S(E_{h,k})$ ebenfalls diffeomorph zur $7$-Sphäre $S^7$, ließe sich das Kofaserprodukt $M_{h,k}=D(E_{h,k}){+}_{S(E_{h,k})}{D}^8$ betrachten. Wird $D^8$ in dieser auf einen Punkt kollabiert, ergibt sich der Thom-Raum $\mathrm{Th}(E_{h,k})=D(E_{h,k})/S(E_{h,k})=M_{h,k}/D^8$. Mithilfe des Thom-Theorems folgt daraus, dass $H^4(M_{h,k},\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ und $H^8(M_{h,k},\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$, weshalb die Schnittform eine $1\times 1$-Matrix ist und die Signatur nur die Werte $\sigma (M_{h,k})=\pm 1$ annehmen kann. Da $M_{h,k}$ achtdimensional ist, lässt sich ebenfalls der Hirzebruchsche Signatursatz zur Berechnung der Signatur anwenden. Es gilt

$\sigma (M_{h,k})=⟨L_2(p_1(M_{h,k}),p_2(M_{h,k})),[M_{h,k}]⟩$

mit dem L-Geschlecht:

$L_2(p_1(M_{h,k}),p_2(M_{h,k}))=\frac{1}{45}(7p_2(M_{h,k})-p_1^2(M_{h,k})).$

Die Unkenntnis der zweiten Pontrjagin-Klasse $p_2(M_{h,k})$ kann (nach Multiplikation beider Seiten mit $45$) durch den Übergang der Werte auf die Restklasse $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ umgangen werden, da der entsprechende Summand dann verschwindet. Es ergibt sich:

$\pm 3\equiv 4(h-k{)}^2\mathrm{mod}7\Rightarrow (h-k{)}^2\equiv 1\mathrm{mod}7.$

Für Paare $(h,k)\in {\mathbb{Z}}^2$ mit $|h+k|=1$ und $(h-k{)}^2\equiv ̸1\mathrm{mod}7$ ergibt sich ein Widerspruch, welcher nur dadurch gelöst werden kann, dass die glatte Verklebung von $S(E_{h,k})$ mit $S^7$ in der Konstruktion von $M_{h,k}$ nicht möglich ist, also diese nicht diffeomorph sind. $S(E_{h,k})$ ist dann eine exotische Sphäre. Ein Beispiel ist $S(E_{2,-3})$.

Literatur

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Weblinks

• exotic 7-sphere auf nLab (englisch)