Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit $\mathrm{\Lambda }$ bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log (p)& \text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen }\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{t},\text{ wobei }p\text{ prim und }k\in {\mathbb{N}}^{+}\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

Erläuterungen

Für zusammengesetzte Zahlen $n$ also

$\mathrm{\Lambda }(n)=0⟺n=p_1^{r_1},\dots ,p_n^{r_n},n\ge 2$

wobei $p_1^{r_1},\dots ,p_n^{r_n}$ ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit $0$ identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von $\mathrm{\Lambda }(n)$ sind

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\log 11,0,\log 13,0,0,\log 2,\log 17,0,\log 19,0,0,0\dots$

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

$\exp (\mathrm{\Lambda }(n))$ lässt sich explizit angeben als

$e^{\mathrm{\Lambda }(n)}=\frac{\mathrm{kgV}(1,2,3,\dots ,n)}{\mathrm{kgV}(1,2,3,\dots ,n-1)}$

wobei $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{V}$ das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge $\exp (\mathrm{\Lambda }(n))$ sind

$1,2,3,2,5,1,7,2,3,1,11,1,13,1,1,2,17,1,19,1,1,1,\dots$ (Vorlage:OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

$\psi (n)=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Lambda }(i),$

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

Bezeichne mit $\mu (n)$ die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für $n\in \mathbb{N}$. Es gilt

$\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d)=\log n$

Weiter gilt

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\log \left(\frac{n}{d}\right)(1)$

$\mathrm{\Lambda }(n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d(2)$

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)\cdot \log d$

$\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)\mathrm{\Lambda }(d)=-\mu (n)\log n$

Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann $(1)$ gezeigt werden, $(2)$ folgt daraus.

Hierbei bedeutet $d\mid n$, dass $d$ ein positiver Teiler von $n$ ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von $n$.

Folgerungen

Sei $p$ eine Primzahl, Beziehung $(2)$ kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge $(p,p+2)$ untersucht

$\sum _{p\le x}\mathrm{\Lambda }(p+2)=-\sum _{p\le x}\sum _{d\mid p+2}\mu (d)\log d.$

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1.$

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen $\zeta$-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1.$

Allgemeiner gilt sogar: Ist $f$ multiplikativ und ihre Dirichletreihe $F$

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

konvergiert für gewisse $s$, dann gilt

$\frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als

${\mathrm{\Lambda }}_k(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d){\log }^k(n/d)$

wobei $\mu$ die Möbius-Funktion bezeichnet und $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Als Dirichlet-Faltung geschrieben

${\mathrm{\Lambda }}_k(n)=(\mu \ast {\log }^k)(n).$

Im Fall $k=1$ erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion ${\mathrm{\Lambda }}_1=\mathrm{\Lambda }$.

Eigenschaften

• Für $k\ge 1$ gilt folgende Rekursion

${\mathrm{\Lambda }}_{k+1}(n)={\mathrm{\Lambda }}_k(n)\log (n)+({\mathrm{\Lambda }}_k\ast \mathrm{\Lambda })(n)$

• Es folgt aus der Rekursion, dass wenn $\omega (n)>k$ dann ist ${\mathrm{\Lambda }}_k(n)=0$.

Abschätzen der Mangoldt-Funktion

Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.

Referenzen

• Vorlage:MathWorld
• Springerlink