Möbius-Inversion

Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

$f:\mathbb{N}\to ℂ$

und ihre summatorische Funktion

$F:\mathbb{N}\to ℂ,F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$.

Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$

$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)F\left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)F(d)$,

wobei $\mu$ die Möbiusfunktion auf $\mathbb{N}$ mit Werten in $\{-1,0,1\}$ bezeichnet.

Verallgemeinerung

Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich $ℂ$ der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass $(ℂ,+,0)$ eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen $(G,\cdot ,1)$ erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

$f:\mathbb{N}\to G$

und ihre „summatorische“ Funktion

$F:\mathbb{N}\to G,F(n)=\prod _{d\mid n}f(d).$

Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$

$f(n)=\prod _{d\mid n}F{\left(\frac{n}{d}\right)}^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}F(d{)}^{\mu \left(\frac{n}{d}\right)}=\prod _{de=n}F(d{)}^{\mu (e)},$

wobei $\mu$ die Möbiusfunktion auf $\mathbb{N}$ mit Werten in $\{-1,0,1\}$ bezeichnet.

Diese Form liefert mit $(G,\cdot ,1)=(\mathbb{Q}(X{)}^{\times },\cdot ,1)$ für das Kreisteilungspolynom ${\mathrm{\Phi }}_n(X)\in \mathbb{Z}[X]$ eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper $\mathbb{Q}(X)$, also im Quotientenkörper der Polynomalgebra $\mathbb{Q}[X]$. Dass ${\mathrm{\Phi }}_n(X)\in \mathbb{Q}[X]$ und sogar ${\mathrm{\Phi }}_n(X)\in \mathbb{Z}[X]$, erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.

Literatur

• Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.