Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur De-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition

Sei $𝔤$ eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra $\mathrm{\Lambda }{𝔤}^{*}=\underset{k}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}^k{𝔤}^{*}$ des dualen $ℝ$-Vektorraumes ${𝔤}^{*}$ definieren wir für alle $k\in \mathbb{N}$ einen Operator

$d^k:{\mathrm{\Lambda }}^k{𝔤}^{*}\to {\mathrm{\Lambda }}^{k+1}{𝔤}^{*}$ wie folgt.

Sei

$f\in \mathrm{Hom}({\mathrm{\Lambda }}^k𝔤,ℝ)\cong {\mathrm{\Lambda }}^k{𝔤}^{*}$,

dann definieren wir

$d^{k}f\in \mathrm{Hom}({\mathrm{\Lambda }}^{k+1}𝔤,ℝ)\cong {\mathrm{\Lambda }}^{k+1}{𝔤}^{*}$

durch

$d^{k}f(g_1\wedge \dots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\le i<j\le k+1}{(-1)}^{i+j-1}f([g_i,g_j]\wedge g_1\wedge \dots \widehat{g_i}\dots \widehat{g_j}\dots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\le i\le k}{(-1)}^{i}f(g_1\wedge \dots \widehat{g_i}\dots \wedge g_{k+1})$.

Der Komplex $(\mathrm{\Lambda }{𝔤}^{*},d^{\bullet })$ heißt Koszul-Komplex. Für alle $k\in \mathbb{N}$ gilt

$d^k{d}^{k-1}=0$.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von $𝔤$ ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

$H^k(𝔤):=\ker (d^k)/\mathrm{im}(d^{k-1})$.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie

Für eine Lie-Gruppe $G$ mit Lie-Algebra $𝔤$ ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der $G$-invarianten Differentialformen auf $G$:

$(\mathrm{\Lambda }{𝔤}^{*},d^{\bullet })=({\mathrm{\Omega }}^G(G),d)$,

die Lie-Algebren-Komologie von $𝔤$ ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes $({\mathrm{\Omega }}^G(G),d)$.

Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

${\mathrm{\Omega }}^G(G)\subset {\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(G)$

einen Isomorphismus der De-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen $G$ gilt also

$H_{dR}^{\bullet }(G)=H^{\bullet }(𝔤)$.

Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung $\pi :𝔤\to \mathrm{g}\mathrm{l}(V)$ die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.

Für $k>0$ sei $C_{\pi }^k$ der Raum der $k$-linearen, alternierenden Abbildungen ${𝔤}^k\to V$, für k=0 sei $C_{\pi }^0=V$. Ferner sei ${\delta }^k:C_{\pi }^k\to C_{\pi }^{k+1}$ durch

$({\delta }^{k}f)(g_1\wedge \dots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\le i<j\le k+1}{(-1)}^{i+j-1}f([g_i,g_j]\wedge g_1\wedge \dots \widehat{g_i}\dots \widehat{g_j}\dots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\le i\le k+1}{(-1)}^i\pi (g_i)f(g_1\wedge \dots \widehat{g_i}\dots \wedge g_{k+1})$.

In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch $k+1$ dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt ${\delta }^k\circ {\delta }^{k+1}=0$, das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

$Z_{\pi }^k=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}({\delta }^k)$

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

$B_{\pi }^k=\mathrm{i}\mathrm{m}({\delta }^{k-1})$

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

$H_{\pi }^k:=Z_{\pi }^k/B_{\pi }^k$

definiert, wobei im Falle $k=0$ der Korandoperator ${\delta }^{-1}$ als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von $𝔤$ mit Werten in $V$ bzgl. $\pi$.

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel

$(\rho (g)f)(h):=\pi (h)(f(g)),g,h\in 𝔤,f\in Z_{\pi }^1$

eine Darstellung $\rho :𝔤\to \mathrm{g}\mathrm{l}(Z_{\pi }^1)$ definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn $Z_{\pi }^1=B_{\pi }^1$ ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse:

1. Lemma von Whitehead: Ist $𝔤$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $\pi :𝔤\to \mathrm{g}\mathrm{l}(V)$ eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist $H_{\pi }^1=\{0\}$.

2. Lemma von Whitehead: Ist $𝔤$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $\pi :𝔤\to \mathrm{g}\mathrm{l}(V)$ eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist $H_{\pi }^2=\{0\}$.

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf $Z_{\pi }^1$:

• Ist $𝔤$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $0\to U\to V\stackrel{\phi }{\to }W\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen $𝔤$-Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen $𝔤$-Modul-Morphismus $\psi :W\to V$ mit $\phi \circ \psi ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_W$.

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi.

Literatur

• C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85–124.
• J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France, 78 (1950) pp. 65–127
• Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. Vorlage:JSTOR
• J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
• J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91–108.
• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
• A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.