Satz von Levi (Lie-Algebra)

Der Satz von Levi, benannt nach Eugenio Elia Levi, ist ein Satz aus der Theorie der Lie-Algebren aus dem Jahre 1905, der die Zerlegung einer endlichdimensionalen, reellen oder komplexen Lie-Algebra in eine semidirekte Summe aus einer halbeinfachen und einer auflösbaren Lie-Algebra zum Inhalt hat; diese nennt man auch die Levi-Zerlegung.

Begriffe

Das mit $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ bezeichnete Radikal einer Lie-Algebra ist das größte in ihr enthaltene auflösbare Ideal. Der Quotient $𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ nach dem Radikal hat kein Radikal, das heißt, das Radikal ist der Nullraum und ist definitionsgemäß halbeinfach.

Formulierung des Satzes

Es sei $𝔤$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann gibt es eine halbeinfache Lie-Algebra $𝔰\subset 𝔤$ mit $𝔤=𝔰\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ (Vektorraumsumme).

Da $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\subset 𝔤$ ein Ideal ist, handelt es sich sogar um eine semidirekte Summe $𝔰⋉\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ von Lie-Algebren.

Beweislinie

Da $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\subset 𝔤$ ein Ideal ist, erhält man eine kurze exakte Sequenz

$0\to \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 𝔤\stackrel{\phi }{\to }𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 0$.

Die oben genannte Zerlegung in eine Vektorraumsumme ergibt sich sofort, wenn das Zerfallen dieser Sequenz gezeigt ist, das heißt die Existenz eines Lie-Algebren-Homomorphismus $\psi :𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 𝔤$, so dass $\phi \circ \psi$ die identische Abbildung auf $𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$ ist. $𝔰:=\psi (𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤))$ leistet dann das Verlangte. Das ist genau der Inhalt des folgenden Satzes, der mit Hilfe des 2-ten Lemmas von Whitehead bewiesen werden kann:

Es sei $𝔤$ eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann zerfällt die kurze exakte Sequenz

$0\to \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 𝔤\stackrel{\phi }{\to }𝔤/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)\to 0$.

Der Satz von Levi ist ein einfaches Korollar dieses Satzes.

Levi-Komplement

Eine halbeinfache Lie-Algebra $𝔰\subset 𝔤$ heißt Levi-Komplement, wenn die direkte Vektorraumsumme mit dem Radikal ganz $𝔤$ ergibt. Daher lässt sich der Satz von Levi auch kurz wie folgt formulieren:

Jede endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra hat ein Levi-Komplement.

Siehe auch

• Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)