Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder $R$-Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

$C_n,n\in \mathbb{Z}$

von $R$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d_n:C_n\to C_{n-1}$

von $R$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$d_n\circ d_{n+1}=0$

für alle n gilt. Der Operator ${\mathrm{d}}_n$ heißt Randoperator. Elemente von $C_n$ heißen n-Ketten. Elemente von

$Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n$ bzw. $B_n(C,d):=\mathrm{im}{d}_{n+1}\subseteq C_n$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $d_n{d}_{n+1}=0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

$H_n(C,d):=Z_n(C,d)/B_n(C,d)$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $(C,d)$, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

$C^n,n\in \mathbb{Z}$

von $R$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d^n:C^n\to C^{n+1}$

von $R$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$d^n\circ d^{n-1}=0$

für alle n gilt. Elemente von $C^n$ heißen n-Koketten. Elemente von

$Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n$ bzw. $B^n:=\mathrm{im}{d}^{n-1}\subseteq C^n$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $d^n{d}^{n-1}=0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

$H^n(C,d):=Z^n(C,d)/B^n(C,d)$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $(C,d)$, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex  $D_{**}$  in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht  $D_{**}$  aus Objekten

$D_{p,q}\in \mathrm{ob}A,p,q\in \mathbb{Z}$

zusammen mit Morphismen

$D_{p,q}\stackrel{d}{\to }{D}_{p-1,q}$   und   $D_{p,q}\stackrel{d^{\prime }}{\to }{D}_{p,q-1}\mathrm{\forall }p,q\in \mathbb{Z}$

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

$d\circ d=0d^{\prime }\circ d^{\prime }=0d\circ d^{\prime }+d^{\prime }\circ d=0.$

Der Totalkomplex  $\mathrm{Tot}(D{)}_{*}$  des Doppelkomplex  $D_{**}$  ist der Kettenkomplex gegeben durch

$\mathrm{Tot}(D{)}_n=\underset{p+q=n}{⨁}{D}_{p,q}$

mit der folgenden Randabbildung: für  $x\in D_{p,q}$  mit  $p+q=n$  ist

$d_n(x)=d(x)+d^{\prime }(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \mathrm{Tot}(D{)}_{n-1}.$

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von ${\mathrm{Tor}}_{*}^R(M,N)$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften

• Ein Kettenkomplex $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ ist genau dann exakt an der Stelle $i$, wenn $H_i(C_{\bullet },d_{\bullet })=0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

• Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Vorlage:Anker Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

$f:(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet })$

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_n:A_n\to B_n$ besteht, welche mit dem Randoperator $d$ vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

$d_{B,n}\circ f_n=f_{n-1}\circ d_{A,n}$.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

$d_B^n\circ f_n=f_{n+1}\circ d_A^n$.

Diese Bedingung stellt sicher, dass $f$ Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei $(C,d)$ ein Kokettenkomplex aus $R$-Moduln über einem Ring $R$. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

$\chi (C,d)=\sum _i(-1{)}^i{\dim }_K{\mathrm{H}}^i(C,d)\in \mathbb{Z}.$

Sind auch die einzelnen Komponenten $C^i$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

$\chi (C,d)=\sum _i(-1{)}^i{\dim }_K{C}^i\in \mathbb{Z}.$

Im Spezialfall eines Komplexes $C^0\to C^1$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten $C^i$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von $R$ zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

$\chi (C,d)=\sum _i(-1{)}^i[C^i]\in K_0(R).$

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn $R$ ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält $K_0(R)\cong \mathbb{Z}$ mit $[R^n]\widehat{=}n$. Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

• Simplizialkomplex
• Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
• Gruppen(ko)homologie.
• Jeder Homomorphismus $f:A\to B$ definiert einen Kokettenkomplex

$(C,d)=(\dots \to 0\to 0\to A\to B\to 0\to 0\to \dots ).$

Legt man die Indizes so fest, dass sich $A$ in Grad 0 und $B$ in Grad 1 befindet, so ist

$H^0(C,d)=\ker f$ und $H^1(C,d)=\mathrm{coker}f.$

Die Euler-Charakteristik

$\dim \ker f-\dim \mathrm{coker}f$

von $(C,d)$ wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von $f$ genannt. Dabei bezeichnet $\mathrm{coker}f$ den Kokern von $f$.

• Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

• Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.