Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:

$L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi i\lambda n)}{(n+\alpha {)}^s}$

Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:

$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s}$

Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.

Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:

$\mathrm{\Phi }(\exp (2\pi i\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha )$

Spezialfälle und spezielle Werte

• Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:

$\zeta (s,n)=L(0,s,n)=\mathrm{\Phi }(1,s,n)$

• Der Polylogarithmus:

${\text{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1)$

• Die Legendresche Chi-Funktion:

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,\frac{1}{2})$

• Die Riemannsche ζ-Funktion:

$\zeta (s)=\mathrm{\Phi }(1,s,1)$

• Die Dirichletsche η-Funktion:

$\eta (s)=\mathrm{\Phi }(-1,s,1)$

• Die Dirichletsche Beta-Funktion:

$\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2})$

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):

$\mathrm{\Phi }(z,s,1)=\frac{{\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)}{z}$

$\mathrm{\Phi }(z,0,a)=\frac{1}{1-z}$

$\mathrm{\Phi }(0,s,a)={\left(a^2\right)}^{-\frac{s}{2}}$

$\mathrm{\Phi }(0,s,a)=a^{-s}$

$\mathrm{\Phi }(z,1,1)=-\frac{\log (1-z)}{z}$

$\mathrm{\Phi }(1,s,\frac{1}{2})=(2^s-1)\zeta (s)$

$\mathrm{\Phi }(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

$\mathrm{\Phi }(0,1,a)=\frac{1}{\sqrt{a^2}}$

Ferner ist

$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\Phi }(-1,2,\frac{1}{2})& =& 4G\\ & \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial s}(-1,-1,1)& =& \log \left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{\mathrm{e}}}\right)\\ & \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial s}(-1,-2,1)& =& \frac{7\zeta (3)}{4{\pi }^2}\\ & \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial s}(-1,-1,\frac{1}{2})& =& \frac{G}{\pi }\end{array}$

mit der catalanschen Konstanten $G$, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten $A$ und der Apéry-Konstanten $\zeta (3)$ der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{\mathrm{e}}^{-at}}{1-z{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t$ für $\{\begin{array}{cc}& \mathrm{R}\mathrm{e}a>0\text{ und }\mathrm{R}\mathrm{e}s>0\text{ und }z<1\\ \text{oder }& \mathrm{R}\mathrm{e}a>0\text{ und }\mathrm{R}\mathrm{e}s>1\text{ und }z=1\end{array}$

Das Kurvenintegral

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=-\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(-t{)}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-at}}{1-z{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t$

mit $\mathrm{R}\mathrm{e}a>0,\mathrm{R}\mathrm{e}s<0,z<1$ darf die Punkte $t=\log z+2k\pi i,k\in \mathbb{Z}$ nicht enthalten.

Ferner ist

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^t}{(a+t{)}^s}\mathrm{d}t+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t-at\log z)}{(1+t^2{)}^{s/2}\cdot ({\mathrm{e}}^{2\pi at}-1)}\mathrm{d}t$

für $\mathrm{R}\mathrm{e}a>0$ und $|z|<1$.

Ebenso ist

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{{\log }^{s-1}\frac{1}{z}}{z^a}\mathrm{\Gamma }(1-s,a\log \frac{1}{z})+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan t-at\log z)}{(1+t^2{)}^{s/2}\cdot ({\mathrm{e}}^{2\pi at}-1)}\mathrm{d}t$

für $\mathrm{R}\mathrm{e}a>0$.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-z}{1-z}\right)}^n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{-s}.$

Sie gilt für alle $s$ und komplexe $z$ mit $\mathrm{R}\mathrm{e}z<\frac{1}{2}$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls $s$ positiv und ganz ist, gilt

$\mathrm{\Phi }(z,n,a)=z^{-a}\{\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=0}{k\ne n-1}}^{\mathrm{\infty }}\zeta (n-k,a)\frac{{\log }^{k}z}{k!}+[\mathrm{\Psi }(n)-\mathrm{\Psi }(a)-\log (-\log z)]\frac{{\log }^{n-1}z}{(n-1)!}\}.$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

$\mathrm{\Phi }(z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(z,s+k,a)(s,k)\frac{(-x{)}^k}{k!}$

für $|x|<\mathrm{R}\mathrm{e}a$ unter Verwendung des Pochhammer-Symbol $(s,k)$ gegeben.

Im Grenzwert $a\to -n$ gilt

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\sum _{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k{)}^s}+z^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1-m-s,m){\mathrm{L}\mathrm{i}}_{s+m}(z)\frac{(a+n{)}^m}{m!}$.

Der Spezialfall $n=0$ hat folgende Reihe:

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1-m-s,m){\mathrm{L}\mathrm{i}}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}$

für $|a|<1$.

Die asymptotische Entwicklung für $s\to -\mathrm{\infty }$ ist gegeben durch

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=z^{-a}\mathrm{\Gamma }(1-s)\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{[2k\pi i-\log z]}^{s-1}{\mathrm{e}}^{2k\pi ai}$

für $|a|<1,\mathrm{R}\mathrm{e}s<0,z\notin (-\mathrm{\infty },0)$ und

$\mathrm{\Phi }(-z,s,a)=z^{-a}\mathrm{\Gamma }(1-s)\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{[(2k+1)\pi i-\log z]}^{s-1}{\mathrm{e}}^{(2k+1)\pi ai}$

wenn $|a|<1,\mathrm{R}\mathrm{e}s<0,z\notin (0,\mathrm{\infty })$.

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{1}{z^a}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-2\pi i(k-1)a}\mathrm{\Gamma }(1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log z))}{(-2\pi i(k-1)-\log z{)}^{1-s}}+\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi ika}\mathrm{\Gamma }(1-s,a(2\pi ik-\log z))}{(2\pi ik-\log z{)}^{1-s}}$

mit $|a|<1$ und $\mathrm{R}\mathrm{e}s<0$.

Identitäten und weitere Formeln

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=z^n\mathrm{\Phi }(z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{z^k}{(k+a{)}^s}$

$\mathrm{\Phi }(z,s-1,a)=(a+z\frac{\partial }{\partial z})\mathrm{\Phi }(z,s,a)$

$\mathrm{\Phi }(z,s+1,a)=-\frac{1}{s}\frac{\partial }{\partial a}\mathrm{\Phi }(z,s,a)$

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit $\{z\in ℂ\setminus [1,\mathrm{\infty })\text{ und }\mathrm{R}\mathrm{e}s>-2\}$ oder $\{z=1\text{ und Re}s>-1\}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-xyz}(-\log (xy){)}^s\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{\Gamma }(s+1)\frac{\mathrm{\Phi }(z,s+1,v)-\mathrm{\Phi }(z,s+1,u)}{u-v}$

und

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(xy{)}^{u-1}}{1-xyz}(-\log (xy){)}^s\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Phi }(z,s+2,u)$.

Literatur

• Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: $\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi x}={\sum }_{\nu =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x+\nu {)}^2}$, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
• M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ${}_2{\psi }_2$, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
• Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
• Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks

• Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)
• Vorlage:Webarchiv
• Vorlage:MathWorld