Lemma von Urysohn

Das Lemma von Urysohn (auch Urysohnsches Lemma genannt) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der Allgemeinen Topologie.

Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde 1925 veröffentlicht. Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass viele der wichtigsten topologischen Räume wie die metrischen Räume und die kompakten Hausdorff-Räume die in dem Lemma vorausgesetzte Normalitätseigenschaft besitzen.

Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis kommt das Urysohnsche Lemma in entscheidender Weise zum Tragen.

Formulierung des Lemmas

Das Lemma sagt folgendes aus:

Sei $X$ ein normaler Raum, d. h., ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von $X$ disjunkte Umgebungen besitzen, und seien zwei derartige disjunkte abgeschlossene Teilmengen $A$ und $B$ vorgegeben.

Dann existiert dazu eine stetige Funktion

$f:X\to [0,1]$

mit $f(a)=0$ für alle $a\in A$ und $f(b)=1$ für alle $b\in B$.

Anmerkungen

1) Das Lemma von Urysohn sagt nichts aus über die Werte der stetigen Funktion $f$ außerhalb der abgeschlossenen Teilmengen $A$ und $B$, sondern allein, dass $A\subseteq f^{-1}(0)$ und $B\subseteq f^{-1}(1)$ gilt. Im Falle, dass zu disjunkten abgeschlossenen $A$ und $B$ stets ein stetiges $f:X\to [0,1]$ mit $A=f^{-1}(0)$ und $B=f^{-1}(1)$ zu finden ist, nennt man $X$ einen perfekt normalen Raum.

2) Für metrische Räume ist eine stetige Funktion $f$ der obigen Art sofort anzugeben. Dazu definiert man zu zwei gegebenen disjunkten abgeschlossenen Teilmengen $A\ne \mathrm{\varnothing }$ und $B\ne \mathrm{\varnothing }$ von $X$ die Funktion $f$ wie folgt:

$x\mapsto f(x):=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$     $(x\in X)$

Dabei ist $d(x,Y)$ der Abstand von $x\in X$ zu $Y\subseteq X$   $(Y\ne \mathrm{\varnothing })$, also

$d(x,Y)=\inf \{d(x,y):y\in Y\}$.

Die Funktion $x\mapsto d(x,Y)$ ist stetig – sogar gleichmäßig stetig – und dabei gilt:

$d(x,Y)=0⟺x\in \bar{Y}$.

Metrische Räume sind demnach immer perfekt normal.

Kernaussage des Lemmas

Der Kern des Lemmas von Urysohn liegt in der folgenden Aussage:

Sei $X$ ein topologischer Raum und sei $D\subseteq ℝ$ eine dichte Teilmenge von $ℝ$. Darin gegeben sei eine Mengenfamilie   $(F(d){)}_{d\in D}$, bestehend aus offenen Teilmengen  $F(d)\subseteq X$   ( $d\in D$ ), welche folgenden Bedingungen genüge:

1. Für $d_1,d_2\in D$ und $d_1<d_2$ sei stets   $\overline{F(d_1)}\subseteq F(d_2)$  .
2. $\bigcap _{d\in D}F(d)=\mathrm{\varnothing }$  .
3. $\bigcup _{d\in D}F(d)=X$  .

Schließlich sei für $x\in X$   folgende Zuordnung definiert:

$x\mapsto f(x):=\inf \{d\in D:x\in F(d)\}$.

Dann ist durch diese Zuordnung eine stetige Funktion $f:X\to ℝ$ gegeben.

Literatur

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Siehe auch

• Interpolationssatz von Katětov