Lemma von Riemann-Lebesgue

Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von absolut integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Formulierung des Satzes

Sei $f\in L^1(ℝ)$, also $f:ℝ\to ℂ$ eine messbare Funktion mit

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$

und $\hat{f}$ die Fourier-Transformierte von $f$, also

$\hat{f}:ℝ\to ℂ,\xi \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\xi }\mathrm{d}x$.

Dann verschwindet $\hat{f}$ im Unendlichen, das heißt $|\hat{f}(\xi )|\stackrel{\xi \to \pm \mathrm{\infty }}{\to }0$ oder formaler, dass es zu jedem $\epsilon >0$ eine reelle Zahl $R>0$ gibt, so dass $|\hat{f}(\xi )|<\epsilon$ für alle $|\xi |>R$.

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei $\hat{f}$ um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit $C_0(ℝ)$, so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf $L^1(ℝ)$ ist eine Abbildung von $L^1(ℝ)$ nach $C_0(ℝ)$.

Beweis

Der Beweis soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass $f$ stetig ist. Für $\xi =0$ liefert die Substitution $x\to x+\frac{\pi }{\xi }$

$\hat{f}(\xi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\xi }\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x+\frac{\pi }{\xi })e^{-ix\xi }{e}^{-i\pi }\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}-f(x+\frac{\pi }{\xi })e^{-ix\xi }\mathrm{d}x$,

und wir haben eine zweite Formel für $\hat{f}(\xi )$. Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

$|\hat{f}(\xi )|\le \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)-f(x+\frac{\pi }{\xi })|\mathrm{d}x$.

Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert $f(x)-f(x+\frac{\pi }{\xi })$ gegen $0$ für alle $x\in ℝ$ und $|\xi |\to \mathrm{\infty }$. Außerdem gilt

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)-f(x+\frac{\pi }{\xi })|\mathrm{d}x\le 2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$.

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert $|\hat{f}(\xi )|$ also für $|\xi |\to \mathrm{\infty }$ gegen 0.

Die Annahme der Stetigkeit von $f$ kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die absolut integrablen stetigen Funktionen dicht in $L^1(ℝ)$. Für jedes $\epsilon >0$ und jede Funktion $f\in L^1(ℝ)$ existiert also eine stetige Funktion $g\in L^1(ℝ)$, sodass $\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\epsilon$ gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch $\underset{\xi \in ℝ}{\sup }|\hat{f}(\xi )-\hat{g}(\xi )|<\frac{\epsilon }{\sqrt{2\pi }}$ gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet $\hat{g}(\xi )$ für $|\xi |\to \mathrm{\infty }$, und da $\epsilon$ beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für $f$.

Verallgemeinerungen

Funktionen mehrerer Veränderlicher

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen $f:{ℝ}^n\to ℂ$ verallgemeinern:

Es sei $f:{ℝ}^n\to ℂ$ eine integrable Funktion, das heißt

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x_1,\dots ,x_n)|\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n<\mathrm{\infty }$.

Ist $\hat{f}:{ℝ}^n\to ℝ$ die Fourier-Transformierte

$\hat{f}({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x_1,\dots ,x_n)e^{-i{x}_1{\xi }_1\dots -i{x}_n{\xi }_n}\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n$,

so gilt $|\hat{f}({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)|\to 0$ für $\Vert ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\Vert \to \mathrm{\infty }$.

Dabei ist $\Vert \cdot \Vert$ irgendeine Norm auf dem ${ℝ}^n$, zum Beispiel die euklidische Norm.

Banachalgebren

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L¹-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C₀-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von $L^1({ℝ}^n)$ mit ${ℝ}^n$ identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.