Kombinationssatz von Maskit

Der Kombinationssatz von Maskit ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Kleinschen Gruppen.

Er gibt Bedingungen für die Konstruierbarkeit diskreter Gruppen hyperbolischer Isometrien als amalgamierte Produkte oder HNN-Erweiterungen.

Er verallgemeinert den Kombinationssatz von Klein und wird deshalb gelegentlich auch als Kombinationssatz von Klein-Maskit bezeichnet.

Erster Kombinationssatz

Seien $G_1,G_2$ Kleinsche Gruppen, so dass $H:=G_1\cap G_2$ eine quasifuchssche Gruppe ist. Seien ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$ die beiden Zusammenhangskomponenten des Komplements der Limesmenge

$\mathrm{\Lambda }(H):=S_{\mathrm{\infty }}^2\setminus \mathrm{\Lambda }(H)={\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2$

und sei

$H({\mathrm{\Omega }}_i)\subset {\mathrm{\Omega }}_i,i=1,2$ ,

aber

$g({\mathrm{\Omega }}_i)\cap {\mathrm{\Omega }}_i=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }g\in G_i\setminus H.$

Dann ist die von $G_1$ und $G_2$ erzeugte Untergruppe eine diskrete Gruppe und sie ist isomorph zum amalgamierten Produkt

$G=G_1{*}_H{G}_2$.

Zweiter Kombinationssatz

Sei $G_0$ eine Kleinsche Gruppe und seien $H_1,H_2\subset G$ quasifuchssche Gruppen, die zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$ des Diskontinuitätsbereiches $\mathrm{\Omega }(G_0)\subset S_{\mathrm{\infty }}^2$ stabilisieren. Sei $A\in Isom(H^3)$ so dass

$A{H}_1{A}^{-1}=H_2$

einen Isomorphismus von $H_1$ nach $H_2$ induziert und

$A({\mathrm{\Omega }}_1)=S_{\mathrm{\infty }}^2\setminus cl({\mathrm{\Omega }}_2).$

Dann ist die von $G_0$ und $A$ erzeugte Untergruppe eine diskrete Gruppe und sie ist isomorph zur HNN-Erweiterung

$G=G_0{*}_A$.

Literatur

• Bernard Maskit: Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9 (Kapitel VII)
• Michael Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 4.18)