HNN-Erweiterung

In der Mathematik ist die HNN-Erweiterung eine Konstruktion aus der Gruppentheorie. Die Theorie der HNN-Erweiterungen ist von grundlegender Bedeutung in der kombinatorischen und geometrischen Untersuchung von Gruppen. HNN-Erweiterungen und amalgamierte Produkte bilden die Grundlage der Bass-Serre-Theorie. Sie wurden von Graham Higman, Bernhard Neumann und Hanna Neumann 1949 in dem Artikel „Embedding Theorems for Groups“ eingeführt, wo auch einige grundlegende Eigenschaften bewiesen wurden.

Eine HNN-Erweiterung ist eine Inklusion einer gegebenen Gruppe $G$ in eine andere Gruppe $G_{\alpha }$, so dass ein gegebener Isomorphismus zweier Untergruppen $J$ und $K$ von $G$ in $G_{\alpha }$ durch Konjugation mit einem Element $t\in G_{\alpha }$ realisiert wird.

Man spricht in diesem Fall von einer HNN-Erweiterung über der Gruppe $J$, und man spricht von einer nichttrivialen HNN-Erweiterung falls $J=G$ ist.

Definition

Gegeben seien eine Gruppe $G$, zwei Untergruppen $J,K\subset G$ und ein Isomorphismus $\alpha :J\to K$.

Wenn $G$ die Präsentierung $⟨S|R⟩$ hat, dann wird $G_{\alpha }$, die HNN-Erweiterung von $G$ durch $\alpha$, durch folgende Präsentierung definiert:

$⟨S,t|R,tj{t}^{-1}=\alpha (j)\mathrm{\forall }j\in J⟩$

Weil die Gruppe $G_{\alpha }$ die Erzeuger und Relationen von $G$ enthält, ist es klar, dass es einen kanonischen Homomorphismus von $G$ nach $G_{\alpha }$ gibt. Higman, Neumann und Neumann bewiesen, dass dieser Morphismus injektiv ist.

Normalformen und Lemma von Britton

Für Berechnungen ist es oft nützlich, Elemente von $G_{\alpha }$ in eine Normalform bringen zu können. Diese Normalform ist nicht eindeutig, das Lemma von Britton beschreibt exakt, wann zwei Normalformen demselben Element entsprechen.

Normalform:

Jedes Element $w\in G_{\alpha }$ kann geschrieben werden als:

$w=g_0{t}^{{\epsilon }_1}{g}_1{t}^{{\epsilon }_2}\cdots g_{n-1}{t}^{{\epsilon }_n}{g}_N,g_i\in G,{\epsilon }_i=\pm 1$

Das Lemma von Britton, bewiesen 1963 in „The word problem“ bietet eine Möglichkeit, die nichttrivialen Elemente einer HNN-Erweiterung zu beschreiben:

Lemma von Britton: Sei $w\in G_{\alpha }$ in obiger Normalform, so dass * entweder $N=0$ und $g_0=1\in G$, * oder $N>0$ und in w kommen keine Teilwörter der Form $tj{t}^{-1}$ mit $j\in J$ oder $tk{t}^{-1}$ mit $k\in K$ vor,

dann ist $w=1$ in $G_{\alpha }$.

Eigenschaften

Sei $G$ eine Gruppe und $G_{\alpha }$ ihre HNN-Erweiterung mittels eines Isomorphismus $\alpha :J\to K$ zweier Untergruppen.

• Wenn $G$ abzählbar ist, dann auch $G_{\alpha }$.
• Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann auch $G_{\alpha }$.
• Wenn $G$ torsionsfrei ist, dann auch $G_{\alpha }$.

Topologische Interpretation

Es sei $X$ ein zusammenhängender Raum mit zwei zusammenhängenden Teilmengen $A,B\subset X$, für die es einen Homöomorphismus $\varphi :A\to B$ gibt. Wir definieren auf $X$ eine Äquivalenzrelation durch

$x\sim y⟺x\in A,y\in B,y=\varphi (x)$ oder $x\in B,y\in A,y={\varphi }^{-1}(x)$

und bezeichnen mit $Y=X/\sim$ den Quotientenraum dieser Äquivalenzrelation. Dann ist die Fundamentalgruppe von $Y$ eine HNN-Erweiterung der Fundamentalgruppe von $X$.

Genauer: sei $x_0\in X$ ein Basispunkt, $y_0=\left[x_0\right]\in X$ und für Basispunkte $a_0\in A,b_0=\varphi (a_0)\in B$ wähle Wege von $a_0$ bzw. $b_0$ nach $x_0$ und entsprechende Identifizierungen von ${\pi }_1(A,a_0),{\pi }_1(B,b_0)$ mit Untergruppen $J,K\in {\pi }_1(X,x_0)$. Der Homöomorphismus $\varphi$ induziert einen Isomorphismus ${\varphi }_{*}:{\pi }_1(A,a_0)\to {\pi }_1(B,b_0)$ und damit einen Isomorphismus $\alpha :J\to K$. Dann ist

${\pi }_1(Y,y_0)={\pi }_1(X,x_0){*}_{\alpha }$.

Der Beweis benutzt den Satz von Seifert und van Kampen.

Bass-Serre-Theorie

Die HNN-Erweiterung $G_{\alpha }$ kann interpretiert werden als Fundamentalgruppe des Gruppengraphen mit einer Ecke v und einer Kante e, Kantengruppe $G_e:=G$, Eckengruppe $G_v:=J$ und Monomorphismen

${\alpha }_0,{\alpha }_1:G_e\to G_v$

gegeben durch ${\alpha }_0=id$ und ${\alpha }_1=\alpha$.

Literatur

• H. Zieschang, E. Vogt, H.-D. Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen. (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 122). Springer-Verlag, Berlin / New York 1970, ISBN 3-540-04911-8.
• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. (= Astérisque. No. 46). Société Mathématique de France, Paris 1977, Kapitel 1.4.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. (= Mathematische Leitfäden). 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X.
• Peter Scott, Terry Wall: Topological methods in group theory. (= London Math. Soc. Lecture Note Ser. 36). Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977), Cambridge Univ. Press, Cambridge / New York 1979, ISBN 0-521-22729-1, S. 137–203. (online)
• John Stillwell: Geometry of surfaces. Corrected reprint of the 1992 original. Universitext. Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97743-0, Kapitel 9.2.2.

Weblinks

• HNN-Extension (Encyclopedia of Mathematics)
• Gruppen und Graphen