Khovanov-Homologie

In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Konstruktion

Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer $[L]$ von Diagrammen $L$ wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex $0 \to ℤ \to 0$ .
$[◯ ⊔ L] = V \otimes [L]$ .
Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{- 1}, L_{0}, L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist $[L_{0}] = ℱ (0 \to L_{1} \to L_{- 1} {1} \to 0)$ .

Dabei ist $V$ ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern $q$ und $q^{- 1}$ in Graden $1$ und $- 1$ , ${1}$ steht für Gradverschiebung um $1$ , und $ℱ$ macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.


$L_{- 1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Die Khovanov-Homologie $L$ ist dann definiert als Homologie von $[L] [- n_{-}] {n_{+} - 2 n_{-}}$ , wobei $n_{\pm}$ für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, $[.]$ für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und ${.}$ wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Eigenschaften

Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper $F_{2}$ .

Khovanov-Homologie einer Verschlingung $L$ ist ein $F_{2}$ -Vektorraum $K h (L)$ mit folgenden Eigenschaften:

Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt $K h (L_{1} ⊔ L_{2}) = K h (L_{1}) \otimes K h (L_{2})$ , insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu $F_{2}$ ..
Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist $F_{2} \oplus F_{2}$ .
Wenn Diagramme dreier Verschlingungen $L_{- 1}, L_{0}, L_{1}$ sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck $K h (L_{- 1}) \to K h (L_{0}) \to K h (L_{1}) \to K h (L_{- 1})$ .


$L_{- 1}$	$L_{0}$	$L_{1}$

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

K h (L) = ⨁_{i, j \in ℤ} K h^{i, j} (L)

,

so dass

ein Linkkobordismus $Σ : L_{1} \to L_{2}$ eine Abbildung $K h (Σ) : K (L_{1}) \to K (L_{2})$ vom Bigrad $(0, χ (Σ))$ induziert,
der Erzeuger von $K h (\emptyset)$ den Bigrad $(0, 0)$ und die Erzeuger von $K h (U n k n o t e n)$ den Bigrad $(1, 0)$ und $(0, 1)$ haben,
das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

\dots \to K h^{i, j + 1} (L_{- 1}) \to K h^{i, j} (L_{0}) \to K h^{i - ω, j - 1 - 3 ω} (L_{1}) \to K h^{i + 1, j + 1} (L_{- 1}) \to \dots

wobei

ω

die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{1}

minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{0}

ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

\dots \to K h^{i - 1, j - 1} (L_{- 1}) \to K h^{i - 1 - c, j - 2 - 3 c} (L_{1}) \to K h^{i, j} (L_{0}) \to K h^{i, j - 1} (L_{1}) \to \dots

wobei

c

die Anzahl der negativen Überkreuzungen von

L_{1}

minus die Anzahl der Überkreuzungen von

L_{0}

ist.


Positive Überkreuzung	Negative Überkreuzung