HOMFLY-Polynom

Das HOMFLY-Polynom, auch HOMFLY-PT-Polynom, ist in der Knotentheorie eine Verallgemeinerung von Alexander-Polynom und Jones-Polynom, die jedem Knoten ein Polynom in den Variablen $m$ und $l$ zuordnet. Auch ist es ein Beispiel einer Quanteninvariante.

Der Name setzt sich aus den Initialen der Mitentdecker zusammen: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter Freyd, W. B. R. Lickorish, David N. Yetter, Józef H. Przytycki, Paweł Traczyk.

Definition

Das Polynom wird wie folgt definiert:

$P(\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t})=1,$

$\ell P(L_{+})+{\ell }^{-1}P(L_{-})+mP(L_0)=0,$

wobei

$L_{+},L_{-},L_0$

Verbindungen sind, die durch Überkreuzen und Glätten gebildet werden.

Das HOMFLY-Polynom einer Verschlingung $L$, die die disjunkte Vereinigung zweier Verschlingungen $L_1$ und $L_2$ ist, ergibt

$P(L)=\frac{-(\ell +{\ell }^{-1})}{m}P(L_1)P(L_2).$

Eigenschaften

Es gilt

$P(L_1\mathrm{\#}{L}_2)=P(L_1)P(L_2),$,

wobei $\mathrm{\#}$ die verbundene Summe bezeichnet; daher ist das HOMFLY-Polynom eines zusammengesetzten Knotens das Produkt der HOMFLY-Polynome seiner Komponenten.

Außerdem ist

$P_K(\ell ,m)=P_{\text{Mirror Image}(K)}({\ell }^{-1},m),$,

also kann das HOMFLY-Polynom oft genutzt werden, um zwischen zwei Knoten unterschiedlicher Chiralität zu unterscheiden, obwohl es chirale Paare von Knoten gibt, die dasselbe HOMFLY-Polynom haben, z. B. 9₄₂ und 10₇₁.

Das Jones-Polynom $V(t)$ und das Alexander-Polynom $\mathrm{\Delta }(t)$ können aus dem HOMFLY-Polynom wie folgt berechnet werden:

$V(t)=P(l=t^{-1},m=t^{-1/2}-t^{1/2}),$

$\mathrm{\Delta }(t)=P(l=1,m=t^{-1/2}-t^{1/2}).$

Allgemeiner lässt sich die ${𝔰l}_N$-Quanteninvariante aus dem HOMFLY-Polynom berechnen.

Literatur

• Louis H. Kauffman: Formal knot theory, 1983

Weblinks

• Gukov, Saberi: Lectures on knot homology and quantum curves