Jacobi-Matrix

Vorlage:Dieser Artikel Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ ist die $m\times n$-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion $f$ bezüglich der Standardbasen des ${ℝ}^n$ und des ${ℝ}^m$.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition

Sei $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit $f_1,\dots ,f_m$ bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt $x$ im Urbildraum ${ℝ}^n$ seien $x_1,\dots ,x_n$ die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für $a\in U$ die Jacobi-Matrix im Punkt $a$ durch

$J_f(a):={(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a))}_{i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a)& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a)& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a)& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\end{array}\right)$

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen $f_1,\dots ,f_m$ von $f$.

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix $J_f(a)$ von $f$ an der Stelle $a$ sind $Df(a)$, $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$ und $\frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}(a)$.

Beispiel

Die Funktion $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ sei gegeben durch

$f(x,y,z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+y^2+z\cdot \sin x}{z^2+z\cdot \sin y})$

Dann ist

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}f(x,y,z)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{2x+z\cdot \cos x}{0})\\ \frac{\partial }{\partial y}f(x,y,z)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{2y}{z\cdot \cos y})\\ \frac{\partial }{\partial z}f(x,y,z)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sin x}{2z+\sin y})\end{array}$

und damit die Jacobi-Matrix

$J_f(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x& 2y& \sin x\\ 0& z\cdot \cos y& 2z+\sin y\end{array}\right)$

Anwendungen

• Ist die Funktion $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential $D{f}_a$ an der Stelle $a=(a_1,\dots ,a_n)\in U$ die lineare Abbildung

$D{f}_a:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,D{f}_a(h)=J_f(a)\cdot h$.

Die Jacobi-Matrix an der Stelle $a$ ist also die Abbildungsmatrix von $D{f}_a$.

• Für $m=1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von $f$. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle $a=(a_1,\dots ,a_n)$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $a$ verwendet werden:

$f(x)\approx f(a)+J_f(a)\cdot (x-a).$

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: $V_f=J\cdot V_x\cdot J^{\text{T}}$

Determinante der Jacobi-Matrix

Sei $m=n$, es wird also eine differenzierbare Funktion $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix $J_f(a)$ am Punkt $a\in U$ eine quadratische $n\times n$-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix $\det (J_f(a))$ bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt $a$ ungleich null, so ist die Funktion $f$ in einer Umgebung von $a$ invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist $m\ne n$, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der $m\times n$-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ kann man auch Funktionen $h:V\subset {ℂ}^n\to {ℂ}^m$ auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion $h:=(h_1,\dots ,h_m):V\subset {ℂ}^n\to {ℂ}^m$ kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine $m\times n$ mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine $2m\times 2n$-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die $m\times n$-Jacobi-Matrix $J_h^{ℂ}(z)$ am Punkt $z:=(z_1,\dots ,z_n)\in V\subset {ℂ}^n$ ist durch

$J_h^{ℂ}(z):=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1}& \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1}& \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n}\end{array}\right)$

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen $u,v:{ℂ}^n\to {ℝ}^m$, sodass $h=u+iv$ gilt. Die Funktionen $u$ und $v$ kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien $z:=(z_1,\dots ,z_n)$ die Koordinaten in ${ℂ}^n$ und setze $z_j:=x_j+i{y}_j$ für alle $j$. Die $2m\times 2n$-Jacobi-Matrix $J_h^{ℝ}(z)$ der holomorphen Funktion $h$ am Punkt $z\in V$ ist dann definiert durch

$J_h^{ℝ}(z):=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{\partial u_1(z)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial x_n}& \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial u_m(z)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial x_n}& \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\ \frac{\partial v_1(z)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial x_n}& \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial v_m(z)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial x_n}& \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n}\end{array}\right)$.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen $m=n$, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

$\det (J_h^{ℝ}(z))={|\det (J_h^{ℂ}(z))|}^2$.

Siehe auch

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).