Offene Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine offene Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, deren Zusammenhangskomponenten alle nicht-kompakt sind. Das konträre Konzept einer offenen Mannigfaltigkeit ist das der geschlossenen Mannigfaltigkeit.

Beispiele offener Mannigfaltigkeiten

• der euklidische Raum ${ℝ}^n$
• jede offene Teilmenge des ${ℝ}^n$
• der punktierte Torus
• die Whitehead-Mannigfaltigkeit

Zahme Enden

Ein Ende einer offenen Mannigfaltigkeit heißt zahm, wenn es eine Folge endlich dominierter Umgebungen $U_i$ mit

$\bigcap _i\overline{U_i}=\mathrm{\varnothing }$ und ${\pi }_1{U}_i={\pi }_{1}E\mathrm{\forall }i$

besitzt. Eine offene Mannigfaltigkeit ist das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn die Enden zahm sind und für alle Enden die Siebenmann-Obstruktion

$\left[E\right]\in \underset{i\in I}{\underleftarrow{\lim }}\widetilde{K_0}(\mathbb{Z}\left[{\pi }_1{U}_i\right])$

im projektiven Limes der reduzierten algebraischen K-Theorie der Gruppenringe verschwindet, also $\left[E\right]=0$ gilt.

Literatur

• A. Ranicki, B. Hughes: Ends of complexes, Cambridge Tracts in Mathematics 123, Cambridge University Press (1996).