Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers $K$ ist definiert als

${\zeta }_K(s):=\sum _{𝔞}{𝔑(𝔞)}^{-s}$

wobei $𝔞$ die Ideale des Ganzheitsrings $O(K)$ des Zahlkörpers $K$ durchläuft und $𝔑(𝔞)$ deren Absolutnorm ist. Die Reihe ${\zeta }_K(s)$ ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich $\mathrm{\Re }(s)\ge 1+\delta$ für alle $\delta >0$ und es gilt die Produktdarstellung

${\zeta }_K(s)=\prod _{𝔭}\frac{1}{1-{𝔑(𝔭)}^{-s}}$,

wobei $𝔭$ die Primideale von $O(K)$ durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf $ℂ\setminus \{1\}$ sowie einen Pol in $s=1$.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade $\mathbb{Z}$ ist) korrespondiert.

Siehe auch

• L-Funktion

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
• Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
• Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.