Hilbert-Metrik

In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Definition

Eine kompakte konvexe Menge.

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten $x,y\in \mathrm{\Omega }$ gibt es dann eine eindeutige Gerade durch $x,y$ und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand $\partial \mathrm{\Omega }$. Die beiden Schnittpunkte seien mit $a,b$ bezeichnet, wobei $a$ näher an $x$ und $b$ näher an $y$ liege. Der Hilbert-Abstand $d_H$ ist dann auf $\mathrm{\Omega }$ definiert durch die Formel

$d_{Hilb}(x,y):=\log \frac{\parallel y-a\parallel .\parallel x-b\parallel }{\parallel x-a\parallel .\parallel y-b\parallel }$

für $x=y$ und $d_{Hilb}(x,x)=0$.

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

$F(v_x):=\frac{d}{dt}{\mid }_{t=0}{d}_{Hilb}(x,x+t{v}_x)$

für $x\in \mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n,v_x\in T_x\mathrm{\Omega }\cong {ℝ}^n$.

Eigenschaften

Im Folgenden seien ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2\subset {ℝ}^n$ zwei kompakte, konvexe Mengen und $d_1,d_2$ die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

• Aus ${\mathrm{\Omega }}_1\subset {\mathrm{\Omega }}_2$ folgt $d_1(x,y)\ge d_2(x,y)$ für alle $x,y\in {\mathrm{\Omega }}_1$.
• Wenn es eine lineare Abbildung $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ mit ${\mathrm{\Omega }}_2=A({\mathrm{\Omega }}_1)$ gibt, dann ist $d_1(x,y)=d_2(Ax,Ay)$ für alle $x,y\in {\mathrm{\Omega }}_1$.

Beispiele

• Sei $\mathrm{\Omega }={𝔻}^n$ die Einheitskugel und $d_{Hyp}$ der Abstand im Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes, dann gilt

$d_{Hilb}=2d_{Hyp}$.

Projektive Geometrie

Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℝP^n$ eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℝP^n$ heißt eigentlich, wenn es eine $\mathrm{\Omega }$ enthaltende affine Karte $\mathrm{\Omega }\subset U\cong V\subset {ℝ}^n$ gibt, in der $\mathrm{\Omega }$ einer beschränkten Menge ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset {ℝ}^n$ entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf $\mathrm{\Omega }\subset ℝP^n$ durch die Hilbert-Metrik auf ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset {ℝ}^n$. Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man $d_{Hilb}(x,y)$ interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte $a,x,b,y$ auf der durch $x$ und $y$ bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

$Coll(\mathrm{\Omega })=\{g\in PGL(n+1,ℝ):g\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }\}$

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von $SL(n+1,ℝ)$ hochheben.

Anwendungen

Die Hilbert-Metrik auf $P({ℝ}_{+}^n)$ wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

Weblinks

• Images des Maths: Géométrie de Hilbert

Literatur

• Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
• Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)