Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion $F:TM\to ℝ$ so dass für alle $v,w\in T_{x}M,x\in M$ gilt:

• $F(v)\ge 0$ mit Gleichheit nur für $v=0$
• $F(\lambda v)=\lambda F(v)$ für alle $\lambda \ge 0$
• $F(v+w)\le F(v)+F(w)$.

Hierbei bezeichnet $T_{x}M$ den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit $M$ im Punkt $x\in M$ und $TM$ das Tangentialbündel von $M,$ also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls $F(-v)=F(v)$ für alle $v\in T_{x}M,x\in M$ gilt.

Beispiele

• Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
• Riemannsche Mannigfaltigkeiten $(M,g)$: setze $F(v)=\sqrt{g(v,v)}$.
• Konvexe Mengen $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ mit der Hilbert-Metrik $d_{\mathrm{\Omega }}$: setze $F(v)=\frac{d}{dt}{\mid }_{t=0}{d}_{\mathrm{\Omega }}(x,x+tv)$ für $v\in T_x\mathrm{\Omega },x\in \mathrm{\Omega }$.

Länge und Volumen

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma :[a,b]\to M$ ist definiert durch

$L(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F({\gamma }^{\prime }(t))dt$.

Die Volumenform einer $n$-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei $x\in M$, $e_1,\dots ,e_n$ eine Basis von $T_{x}M$, ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ die duale Basis. Sei $V(x)$ das euklidische Volumen von $D(x)=\{y\in {ℝ}^n:F(\sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i)\le 1\}$. Die Volumenform ist dann gegeben durch

$B_F(x)=\frac{C(n)}{V(x)}{\eta }_1\wedge \dots \wedge {\eta }_n$,

wobei $C(n)$ das euklidische Volumen der Einheitskugel im ${ℝ}^n$ bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge $A\subset M$ ist definiert durch $\mathrm{vol}(A)=\underset{A}{\int }{B}_F(x)$.

Literatur

• Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
• Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
• D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
• Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
• Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003