Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer $m$-dimensionalen Fläche im $n$-dimensionalen Raum ${ℝ}^n$ (mit $m<n$) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des ${ℝ}^n$ definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) $m$-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des ${ℝ}^n$.)

Das bekannteste dieser Maße ist das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß ${\mathscr{H}}^m$, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das $m$-dimensionale sphärische Maß ${𝒮}^m$ erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes

Zu einer Teilmenge $A$ des ${ℝ}^n$ betrachtet man die Größen

${𝒮}_{\epsilon }^m(A)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\alpha (m){(\frac{1}{2}\mathrm{diam}(B_i))}^m|A\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i;B_i\text{ Kugel im }{ℝ}^n;\mathrm{diam}(B_i)<\epsilon \}$

für $\epsilon >0$, wobei das Infimum über alle Überdeckungen $(B_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ von $A$ durch abzählbar viele $n$-dimensionale Kugeln $B_1,B_2,$… im ${ℝ}^n$ mit Durchmessern (Diametern) $\mathrm{diam}(B_i)<\epsilon$ gebildet wird. Hierbei ist $\alpha (m)$ das Volumen der $m$-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im ${ℝ}^m$, gleichbedeutend mit dem $m$-dimensionalen Flächeninhalt des $m$-dimensionalen Einheitskreises im ${ℝ}^n$. Der Formfaktor $\alpha (m)$ sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden $\alpha (m)(\mathrm{diam}(B_i)/2{)}^m$ sind gerade die $m$-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln $B_i$ mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden $m$-dimensionalen Ebenen im ${ℝ}^n$.

Das $m$-dimensionale sphärische Maß von $A$ wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

${𝒮}^m(A)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{𝒮}_{\epsilon }^m(A).$

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der $m$-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche $A$.

Definition des Hausdorff-Maßes

Zur Definition des Hausdorff-Maßes ${\mathscr{H}}^m$ gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des ${ℝ}^n$ bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von $B\subset {ℝ}^m$ ist definiert durch

$\mathrm{diam}(B)=\sup \{|x-y|:x,y\in B\}$

für $B\ne \mathrm{\varnothing }$ und $\mathrm{diam}(\mathrm{\varnothing })=0$, und man setzt entsprechend für $A\subset {ℝ}^n$

${\mathscr{H}}_{\epsilon }^m(A)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\alpha (m){(\frac{1}{2}\mathrm{diam}(B_i))}^m|A\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i;B_i\subset {ℝ}^n;\mathrm{diam}(B_i)<\epsilon \},$

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen $(B_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ von $A$ durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen $B_1,B_2,$… des ${ℝ}^n$ mit $\mathrm{diam}(B_i)<\epsilon$. Schließlich definiert man

${\mathscr{H}}^m(A)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\mathscr{H}}_{\epsilon }^m(A)$

das metrische äußere Maß ${\mathscr{H}}^m$, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß ${\mathscr{H}}^m$.

Die Ausdrücke ${𝒮}_{\epsilon }^m$ und ${\mathscr{H}}_{\epsilon }^m$ sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang $\epsilon$ gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße ${𝒮}^m$ und ${\mathscr{H}}^m$ bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) $m$-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

${\mathscr{H}}^m\le {𝒮}^m\le [2n/(n+1){]}^{m/2}{\mathscr{H}}^m.$

Zusammenhang mit der Flächenformel

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche $A=f(G)$ mit einem Gebiet $G\subset {ℝ}^m$ und einer injektiven differenzierbaren Funktion $f:G\to {ℝ}^n$ findet die Flächenformel Anwendung:

${\mathscr{H}}^m(A)=\underset{G}{\int }\sqrt{\det (Df{}^{t}Df)}\mathrm{d}{ℒ}^m.$

Dabei ist $\sqrt{\det (Df{}^{t}Df)}$ die verallgemeinerte Jacobi-Determinante (Gramsche Determinante) von $f$, und ${ℒ}^m$ bezeichnet das $m$-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im ${ℝ}^m$.

Verallgemeinerungen

1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ $m$ die obigen Definitionen von ${𝒮}^m$ und ${\mathscr{H}}^m$ mit $\alpha (m)=\mathrm{\Gamma }(1/2{)}^m/\mathrm{\Gamma }(1+m/2)$, wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge $A$ des ${ℝ}^n$ ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl $m$ mit ${\mathscr{H}}^s(A)=\mathrm{\infty }$ für alle $s<m$ und ${\mathscr{H}}^s(A)=0$ für alle $s>m$. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen ${\mathscr{H}}^m$ und ${𝒮}^m$ bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
   In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des ${ℝ}^n$ mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
2. Die Definition des $m$-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des ${ℝ}^n$; das Gleiche gilt für das $m$-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik $d$ ersetzt. Das heißt, aus $|x-y|$ wird $d(x,y)$.

Literatur

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