Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.

Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen $O (p) \times O (n)$ , das heißt $X \sim V_{1} X V_{2}$ für $V_{1} \in O (p), V_{2} \in O (n)$ .

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Einführung

Sei $V_{p, n} : = V_{n} (ℝ^{p})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen $n$ -Rahmen in $ℝ^{p}$ für $n \leq p$ . Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum

V_{p, n} = {X \in ℝ^{p \times n} : X^{'} X = I_{n}, n \leq p}

darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen

V_{p, n} ≅ O (p) / O (p - n),

wir können beide miteinander identifizieren und im Fall $p = n$ erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung

X \to V X, V \in O (p) .

$O (p - n)$ ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von $O (p)$ . Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf $O (p)$ , welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum $O (p) / O (p - n)$ induziert.

Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei $X \in O (p)$ , dann differenzieren wir $X^{'} X = I_{p}$ und erhalten

d X^{'} X + X^{'} d X = 0 .

Seien $x_{1}, \dots, x_{p}$ die Spalten von $X = (x_{1}, \dots, x_{p})$ . Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform

(X^{'} d X) : = \underset{1 \leq i < j \leq p}{⋀} x'_{i} d x_{j} = \underset{1 \leq i < j \leq p}{⋀} (x_{1 i} d x_{1 j} + \dots + x_{p i} d x_{p j}),

welche den Grad $\frac{1}{2} p (p - 1)$ hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.

Sei nun $X \in V_{p, n}$ ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form $X = (x_{1}, \dots, x_{n})$ . Dann wählen wir eine Matrix $X^{⊥} = (x_{n + 1}, \dots, x_{p}) \in ℝ^{p \times (p - n)}$ , so dass $[X : X^{⊥}] = (x_{1}, \dots, x_{p}) \in O (p)$ . Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad $\frac{1}{2} n (2 p - n - 1)$ und gegeben durch

(X^{'} d X) : = ⋀_{j = 1}^{p - n} ⋀_{1 = i}^{n} x'_{n + j} d x_{i} \underset{1 \leq i < j \leq n}{⋀} x'_{j} d x_{i} .

Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von $X^{⊥}$ ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.^[1]

Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion

\int_{V_{p, n}} (X^{'} d X) = A_{p} \int_{V_{p - 1, n - 1}} (X^{'} d X)_{- 1}, A_{p} : = \frac{2 π^{p / 2}}{Γ (\frac{1}{2} p)}

gilt. Die Notation $(X^{'} d X)_{- 1}$ steht hier einfach für das invariante Maß auf $V_{p - 1, n - 1}$ .

Aus der Rekursion folgt

v (p, n) : = \int_{V_{p, n}} (X^{'} d X) = \frac{2^{n} π^{p n / 2}}{Γ_{n} (\frac{1}{2} p)},

wobei $Γ_{n}$ die multivariate Gammafunktion ist.^[2]