Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition

Sei $𝕂 = ℝ, ℂ$ oder $ℍ$ der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei $V = 𝕂^{n}$ ein $n$ -dimensionaler $𝕂$ -Vektorraum. Sei $0 \leq k \leq n$ .

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k} (𝕂^{n})$ definiert als Menge aller $k$ -Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der $k$ -Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von $V_{k} (𝕂^{n})$ in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe

Die Gruppe $GL (n, 𝕂)$ wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator $GL (k, 𝕂)$ , man erhält also eine Bijektion mit

GL (n, 𝕂) / GL (k, 𝕂)

.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k} (𝕂^{n})$ wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

\begin{matrix} V_{k} (ℝ^{n}) & ≅ O (n) / O (n - k) \\ V_{k} (ℂ^{n}) & ≅ U (n) / U (n - k) \\ V_{k} (ℍ^{n}) & ≅ Sp (n) / Sp (n - k) . \end{matrix}

Topologie

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf $V_{k} (𝕂^{n})$ eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die $V_{k} (𝕂^{n})$ zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

\dim V_{k} (ℝ^{n}) = n k - \frac{1}{2} k (k + 1)

\dim V_{k} (ℂ^{n}) = 2 n k - k^{2}

\dim V_{k} (ℍ^{n}) = 4 n k - k (2 k - 1) .

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von $V_{k} (𝕂^{n})$ mit einem Unterraum von $𝕂^{n k}$ .

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit $G_{k} (𝕂^{n})$ ist die Menge der $k$ -dimensionalen Untervektorräume des $𝕂^{n}$ .

Jedem $k$ -Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

V_{k} (𝕂^{n}) \to G_{k} (𝕂^{n})

.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

\begin{matrix} O (k) & \to V_{k} (ℝ^{n}) \to G_{k} (ℝ^{n}) \\ U (k) & \to V_{k} (ℂ^{n}) \to G_{k} (ℂ^{n}) \\ Sp (k) & \to V_{k} (ℍ^{n}) \to G_{k} (ℍ^{n}) . \end{matrix}