Multivariate Gammafunktion

Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als ${\mathrm{\Gamma }}_p$ notiert.

Definition

Sei ${𝒮}_p$ der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen $p\times p$-Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)=\underset{{𝒮}_p}{\int }\exp (\mathrm{tr}(-A))\det (A{)}^{a-\frac{1}{2}(p+1)}\mathrm{d}A$

für $\mathrm{\Re }(a)>\frac{1}{2}(p-1)$; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes $A$ zu integrieren, da ${𝒮}_p\cong {ℝ}^{\frac{p(p+1)}{2}}$.

Eigenschaften

Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:

• Sei $\mathrm{\Re }(a)>\frac{1}{2}(p-1)$, dann gilt

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{\frac{1}{4}p(p-1)}\prod _{i=1}^p\mathrm{\Gamma }(a-\frac{1}{2}(i-1))$

Beweis-Idee: Teile $A=T{T}^{𝖳}$, wobei $T$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante

$J_{A\to T}:(t_{i,j}{)}_{i,j=1}^p\mapsto 2^p\prod _{i=1}^p{t}_{i,i}^{p+1-i}$.

• Rekursion:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_p(a)& ={\pi }^{\frac{1}{2}(p-1)}\mathrm{\Gamma }(a){\mathrm{\Gamma }}_{p-1}(a-\frac{1}{2})\\ & ={\pi }^{\frac{1}{2}(p-1)}{\mathrm{\Gamma }}_{p-1}(a)\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1}{2}(p-1))\end{array}$

Somit:

${\mathrm{\Gamma }}_1(a)=\mathrm{\Gamma }(a)$

${\mathrm{\Gamma }}_2(a)={\pi }^{\frac{1}{2}}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-\frac{1}{2})$

${\mathrm{\Gamma }}_3(a)={\pi }^{\frac{3}{2}}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(a-1)$

Verallgemeinerungen

Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als

${\mathrm{\Gamma }}_p(a_1,\dots ,a_p)=\underset{{𝒮}_p}{\int }\frac{\exp (\mathrm{tr}(-A))\det (A{)}^{a_p-\frac{1}{2}(p+1)}}{\prod _{\alpha =1}^{p-1}\det (A^{[\alpha ]}{)}^{m_{\alpha +1}}}\mathrm{d}A$

mit $a_j=m_1+\cdots +m_j$ und $\mathrm{\Re }(a_j)>\frac{1}{2}(j-1),j=1,\dots ,p$.

Ableitungen

Die multivariate Digamma-Funktion:

${\psi }_p(a)=\frac{\partial \log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}=\sum _{i=1}^p\psi (a+\frac{1}{2}(1-i))$

und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:

${\psi }_p^{(n)}(a)=\frac{{\partial }^n\log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a^n}=\sum _{i=1}^p{\psi }^{(n)}(a+\frac{1}{2}(1-i))$