Ellipsoid-Koordinaten

Koordinatenflächen der Ellipsoid-Koordinaten (η,θ,λ) mit a=60 und b=40. Das blaue Ellipsoid gehört zu η=70, das rote einschalige Hyperboloid entspricht θ=50 und das gelbe zweischalige λ=30.

Ellipsoid-Koordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt des dreidimensionalen Raums durch Angabe der Lage auf einem Ellipsoid und konfokalen Hyperboloiden bestimmt wird, siehe Bild.

Ellipsoid-Koordinaten (Vorlage:EnSVorlage:RpVorlage:Rp) erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung,Vorlage:Rp was deren Lösung stark vereinfacht. Ellipsoid-Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets ellipsoid- oder hyperboloid­förmig sind.

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung separiert und für spezielle Formen der potentiellen Energie auch gelöst werden.Vorlage:Rp

Sie sind nicht zu verwechseln mit den ellipsoidischen Koordinaten, die auf der Oberfläche eines Ellipsoids definiert sind und in der Geodäsie benutzt werden.

Koordinatenflächen

In Ellipsoid-KoordinatenVorlage:RpVorlage:Rp (η,θ,λ) bestehen die Koordinatenflächen aus einem Ellipsoid (η=const., blau im Bild oben),

$\frac{x^2}{{\eta }^2-a^2}+\frac{y^2}{{\eta }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\eta }^2}=1$

einem einschaligen Hyperboloid (θ=const., rot im Bild oben)

$\frac{y^2}{{\theta }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\theta }^2}-\frac{x^2}{a^2-{\theta }^2}=1$

und einem zweischaligen (mit λ=const., gelb im Bild oben)

$\frac{z^2}{{\lambda }^2}-\frac{x^2}{a^2-{\lambda }^2}-\frac{y^2}{b^2-{\lambda }^2}=1$

Damit das möglich ist, muss

$0\le {\lambda }^2<b^2<{\theta }^2<a^2<{\eta }^2$

sein. Aus obigen drei Gleichungen können die Koordinatenquadrate bestimmt werden:

$x^2=\frac{({\eta }^2-a^2)({\theta }^2-a^2)({\lambda }^2-a^2)}{a^2(a^2-b^2)},y^2=\frac{({\eta }^2-b^2)({\theta }^2-b^2)({\lambda }^2-b^2)}{b^2(b^2-a^2)},z^2={\left(\frac{\eta \theta \lambda }{ab}\right)}^2$

Die Koordinaten können mit den drei grundlegenden Jacobischen Funktionen $\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k),\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime }),\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)$, sinus–, cosinus– bzw. delta amplitudinis mit dem elliptischen Modul $k=b/a$ und dem komplementären Parameter $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}=:d/a,d:=\sqrt{a^2-b^2}$ als Funktion dreier Parameter α, β und γ dargestellt werdenVorlage:Rp:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}{k}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{d}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ k^{\prime }\mathrm{c}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{c}\mathrm{n}(\gamma ,k)\\ \mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\eta \\ \theta \\ \lambda \end{array}\right)=\frac{a}{\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{n}(\alpha ,k)\\ \mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{d}\mathrm{n}(\beta ,k^{\prime })\\ k\mathrm{c}\mathrm{n}(\alpha ,k)\mathrm{s}\mathrm{n}(\gamma ,k)\end{array}\right)$

In dieser Darstellung fällt θ≥0 und $z=\frac{\eta \theta \lambda }{ab}$auf.

Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente

Die kovarianten Basisvektoren sind mit $\overrightarrow{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{\top }}$:

${\overrightarrow{g}}_{\eta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }=\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\theta }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right),{\overrightarrow{g}}_{\lambda }:=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \lambda }=\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)$

die, wie es sein soll, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:Vorlage:Rp

$h_{\eta }=\sqrt{\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}},h_{\theta }=\sqrt{\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}},h_{\lambda }=\sqrt{\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}}$

Das ellipsoidische Orthonormalsystem ist dementsprechend

$\begin{array}{cc}{\hat{c}}_{\eta }:=& \sqrt{\frac{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}\frac{\eta x}{{\eta }^2-a^2}\\ \frac{\eta y}{{\eta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\eta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\theta }:=& \sqrt{\frac{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\theta x}{a^2-{\theta }^2}\\ \frac{\theta y}{{\theta }^2-b^2}\\ \frac{z}{\theta }\end{array}\right)\\ {\hat{c}}_{\lambda }:=& \sqrt{\frac{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}}\left(\begin{array}{c}-\frac{\lambda x}{a^2-{\lambda }^2}\\ -\frac{\lambda y}{b^2-{\lambda }^2}\\ \frac{z}{\lambda }\end{array}\right)\end{array}$

Das Linien-, Flächen- und Volumenelement ergibt sich zuVorlage:RpVorlage:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\overrightarrow{r}=& {\overrightarrow{g}}_{\eta }\mathrm{d}\eta +{\overrightarrow{g}}_{\theta }\mathrm{d}\theta +{\overrightarrow{g}}_{\lambda }\mathrm{d}\lambda \\ \mathrm{d}{s}^2:=& |\mathrm{d}\overrightarrow{r}{|}^2=\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\eta }^2+\frac{({\theta }^2-{\eta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\theta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)}\mathrm{d}{\theta }^2+\frac{({\lambda }^2-{\eta }^2)({\lambda }^2-{\theta }^2)}{({\lambda }^2-a^2)({\lambda }^2-b^2)}\mathrm{d}{\lambda }^2\\ \mathrm{d}A:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{\hat{c}}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta +h_{\theta }{h}_{\lambda }{\hat{c}}_{\eta }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda +h_{\lambda }{h}_{\eta }{\hat{c}}_{\theta }\mathrm{d}\lambda \mathrm{d}\eta \\ \mathrm{d}V:=& h_{\eta }{h}_{\theta }{h}_{\lambda }\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\lambda \end{array}$

Differentialoperatoren in Ellipsoid-Koordinaten

Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.

Der Laplace-Operator ist:Vorlage:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f=& \frac{\sqrt{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\sqrt{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}\frac{\partial f}{\partial \eta }\right)\\ & +\frac{\sqrt{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)}}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sqrt{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)}\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)\\ & +\frac{\sqrt{(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}}{({\eta }^2-{\lambda }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}\frac{\partial }{\partial \lambda }\left(\sqrt{(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\frac{\partial f}{\partial \lambda }\right)\end{array}$

oder mit ausgeführten Ableitungen und zusammengefasst:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f=& \frac{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\eta }^2}+(2{\eta }^2-a^2-b^2)\eta \frac{\partial f}{\partial \eta }}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)}\\ & +\frac{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}-(2{\theta }^2-a^2-b^2)\theta \frac{\partial f}{\partial \theta }}{({\eta }^2-{\theta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}\\ & +\frac{(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\lambda }^2}+(2{\lambda }^2-a^2-b^2)\lambda \frac{\partial f}{\partial \lambda }}{({\eta }^2-{\lambda }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}\end{array}$

Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung

Vorlage:Hauptartikel In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Aus der Literatur sind folgende zwei Ansätze bekannt.

Der Ansatz von Moon und Spencer

Ausgangspunkt des im Hauptartikel beschriebenen Vorgehens ist die Stäckel-MatrixVorlage:Rp

$𝐒:=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\eta }^4}{({\eta }^2-b^2)({\eta }^2-a^2)}& \frac{1}{({\eta }^2-b^2)({\eta }^2-a^2)}& \frac{{\eta }^2}{({\eta }^2-b^2)({\eta }^2-a^2)}\\ \frac{-{\theta }^4}{({\theta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)}& \frac{-1}{({\theta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)}& \frac{-{\theta }^2}{({\theta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)}\\ \frac{{\lambda }^4}{(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}& \frac{1}{(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}& \frac{{\lambda }^2}{(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}\end{array}\right)$

mit der Determinante

$S=\frac{({\eta }^2-{\theta }^2)({\eta }^2-{\lambda }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-b^2)({\eta }^2-a^2)({\theta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}$

und den Minoren

$\begin{array}{cc}{M}_1=& \frac{{\theta }^2-{\lambda }^2}{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}\\ M_2=& \frac{{\eta }^2-{\lambda }^2}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}\\ M_3=& \frac{{\eta }^2-{\theta }^2}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)({\theta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)}\end{array}$

Damit sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung gemäß

$h_{\eta }^2=\frac{S}{M_1},h_{\theta }^2=\frac{S}{M_2},h_{\lambda }^2=\frac{S}{M_3}$

und

$\frac{h_{\eta }{h}_{\theta }{h}_{\lambda }}{S}=\sqrt{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)}\cdot \sqrt{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)}\cdot \sqrt{(b^2-{\lambda }^2)(a^2-{\lambda }^2)}$

erfüllt. Die Faktoren für den Separationsansatz $\varphi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \mathrm{\Theta }(\theta )\cdot \mathrm{\Lambda }(\lambda )$ und die Trennungskonstanten ${\alpha }_{1,2,3}$ bestimmen sich ausVorlage:Rp

$\begin{array}{cc}({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)\frac{{\partial }^{2}H}{\partial {\eta }^2}+[2{\eta }^2-(a^2+b^2)]\eta \frac{\partial H}{\partial \eta }+(a_1{\eta }^4+a_3{\eta }^2+a_2)H=& 0\\ (a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}-[2{\theta }^2-(a^2+b^2)]\theta \frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }-(a_1{\theta }^4+a_3{\theta }^2+a_2)\mathrm{\Theta }=& 0\\ (a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}+[2{\lambda }^2-(a^2+b^2)]\lambda \frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }+(a_1{\lambda }^4+a_3{\lambda }^2+a_2)\mathrm{\Lambda }=& 0\end{array}$

Bei der Helmholtz-Gleichung $\mathrm{\Delta }\varphi +{\kappa }^2\varphi =0$ ist ${\alpha }_1={\kappa }^2$ und bei der Laplace-Gleichung ist entsprechend ${\alpha }_1=0$.Vorlage:Rp

Der Ansatz von Morse und Feshbach

Ein anderer AnsatzVorlage:Rp benutzt die Stäckel-Matrix

$𝐒=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{{\eta }^2-a^2}& \frac{1}{(a^2-b^2)({\eta }^2-b^2)}\\ 1& \frac{1}{{\theta }^2-a^2}& \frac{1}{(a^2-b^2)({\theta }^2-b^2)}\\ 1& \frac{1}{{\lambda }^2-a^2}& \frac{1}{(a^2-b^2)({\lambda }^2-b^2)}\end{array}\right)$

mit der Determinante

$S=\frac{({\eta }^2-{\lambda }^2)({\eta }^2-{\theta }^2)({\theta }^2-{\lambda }^2)}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}$

und den Minoren

$\begin{array}{cc}{M}_1=& \frac{{\theta }^2-{\lambda }^2}{(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ M_2=& \frac{{\eta }^2-{\lambda }^2}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)}\\ M_3=& \frac{{\eta }^2-{\theta }^2}{({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)}\end{array}$

Die Faktoren für den Separationsansatz $\varphi (\eta ,\theta ,\lambda )=H(\eta )\cdot \mathrm{\Theta }(\theta )\cdot \mathrm{\Lambda }(\lambda )$ und die Trennungskonstanten ${\alpha }_{1,2,3}$ ergeben sich hier aus den Differenzialgleichungen

$\begin{array}{cc}& ({\eta }^2-a^2)({\eta }^2-b^2)\frac{{\partial }^{2}H}{\partial {\eta }^2}+(2{\eta }^2-a^2-b^2)\eta \frac{\partial H}{\partial \eta }+\dots \\ & \dots +\{{\alpha }_1{\eta }^4-[{\alpha }_1(a^2+b^2)-{\alpha }_2]{\eta }^2+({\alpha }_1{a}^2-{\alpha }_2)b^2\}H=-{\alpha }_3\frac{{\eta }^2-a^2}{a^2-b^2}H\\ & (a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\theta }^2}-(2{\theta }^2-b^2-a^2)\theta \frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta }+\dots \\ & \dots +[{\alpha }_1(a^2-{\theta }^2)({\theta }^2-b^2)-{\alpha }_2({\theta }^2-b^2)]\mathrm{\Theta }=-{\alpha }_3\frac{a^2-{\theta }^2}{a^2-b^2}\mathrm{\Theta }\\ & (a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial {\lambda }^2}+(2{\lambda }^2-b^2-a^2)\lambda \frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial \lambda }+\dots \\ & \dots +[{\alpha }_1(a^2-{\lambda }^2)(b^2-{\lambda }^2)-{\alpha }_2(b^2-{\lambda }^2)]\mathrm{\Lambda }={\alpha }_3\frac{a^2-{\lambda }^2}{a^2-b^2}\mathrm{\Lambda }\end{array}$

Auch hier ist ${\alpha }_1={\kappa }^2$ bei der Helmholtz-Gleichung $\mathrm{\Delta }\varphi +{\kappa }^2\varphi =0$ und bei der Laplace-Gleichung entsprechend ${\alpha }_1=0$.Vorlage:Rp

Wird hier ${\alpha }_2$ durch $\frac{a^4{\alpha }_1+{\alpha }_2+a^2{\alpha }_3}{a^2-b^2}$ und ${\alpha }_3$ durch $-(b^4{\alpha }_1+{\alpha }_2+b^2{\alpha }_3)$ ersetzt, entstehen dieselben Differentialgleichungen wie sie #Der Ansatz von Moon und Spencer hervorbringt. Die mit den beiden Ansätzen ermittelten Differentialgleichungen unterscheiden sich nur in der Größe der Trennungskonstanten ${\alpha }_{2,3}$.

Weblinks

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