Eigenschaft T

In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.

Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.

Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T.

Definition

Sei $\pi :G\to U(\mathscr{H})$ eine stark stetige, unitäre Wirkung einer topologischen Gruppe $G$ auf einem Hilbertraum $\mathscr{H}$.

Für eine kompakte Menge $Q\subset G$ und $ϵ>0$ heißt ein Vektor $z\in \mathscr{H}$ $(Q,ϵ)$-invariant, wenn

$\underset{g\in Q}{\sup }\parallel \pi (g)z-z\parallel <ϵ\parallel z\parallel$.

$G$ hat Eigenschaft T, wenn es eine kompakte Menge $Q\subset G$ und ein $ϵ>0$ gibt, so dass es für jede unitäre Wirkung einen $(Q,ϵ)$-invarianten Vektor gibt.

Beispiele

• Jede kompakte Gruppe hat Eigenschaft T. Man kann $Q=G$ und $ϵ=\sqrt{2}$ wählen.
• ${ℝ}^n$ und ${\mathbb{Z}}^n$ haben Eigenschaft T nicht.
• Eine lokal kompakte Gruppe ist genau dann kompakt, wenn sie mittelbar ist und Eigenschaft T hat.
• $SL(n,ℝ)$ hat genau dann Eigenschaft T, wenn $n\ge 3$ ist. Allgemeiner haben für jeden lokalen Körper $K$ die Gruppen $SL(n,K)$ mit $n\ge 3$ und $Sp(2n,K)$ mit $n\ge 2$ Eigenschaft T.
• Einfache Lie-Gruppen mit $r{k}_{ℝ}(G)\ge 2$ haben Eigenschaft T.

Eigenschaften

• Jede lokal kompakte Gruppe mit Eigenschaft T ist kompakt erzeugt. Insbesondere sind Gitter mit Eigenschaft T endlich erzeugt.
• Wenn $G$ Eigenschaft T hat, dann hat $G/N$ Eigenschaft T für jeden Normalteiler $N$.
• Wenn $G$ lokal kompakt, $H\subset G$ abgeschlossen und $G/H$ ein endliches, reguläres, $G$-invariantes Borel-Maß hat, dann hat $H$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf $G$ zutrifft. Insbesondere hat ein Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf $G$ zutrifft.
• Nach dem Satz von Delorme-Guichardet hat eine Gruppe $G$ genau dann Eigenschaft T, wenn sie Eigenschaft FH hat: jede stetige Wirkung durch affine Isometrien auf einem Hilbert-Raum $\mathscr{H}$ hat einen Fixpunkt. Äquivalent dazu muss $H^1(G,\pi )=0$ für alle unitären Darstellungen $\pi :G\to U(\mathscr{H})$ sein.
• Aus Eigenschaft FH folgt beispielsweise, dass jede Wirkung der Gruppe als Isometrien eines Baumes oder eines hyperbolischen Raumes einen Fixpunkt haben muss, und dass jede orientierungserhaltende, $C^{\mathrm{\infty }}$-Wirkung der Gruppe auf dem Kreis über die Wirkung einer endlichen zyklischen Gruppe faktorisiert.

Literatur

• B. Bekka, P. de la Harpe, A. Valette: Kazhdan's Property (T). Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-88720-5