Starke Eigenschaft T

In der Mathematik ist die starke Eigenschaft T eine die Eigenschaft T verschärfende Eigenschaft von Gruppen, die als Obstruktion in Lafforgues Ansatz zum Beweis der Baum-Connes-Vermutung auftrat und in Beweisen von Vermutungen aus dem Zimmer-Programm Anwendung findet.

Definition

Eine lokal kompakte Gruppe $G$ erfüllt die starke Eigenschaft T, wenn es positive Konstanten $s,t,C$ und eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen $m_n$ mit Träger in $\{g\in G:l(g)\le n\}$ gibt, so dass für jede Darstellung $\pi :G\to B(X)$ in die beschränkten Operatoren auf einem Banach-Raum mit $\Vert \pi (g)\Vert \le L{e}^{sl(g)}$ (für ein $L\in ℝ$ und alle $g\in G$) es ein $P\in B(X)$ gibt mit

$\Vert \pi (m_n)-P\Vert \le C{L}^2{e}^{-tn}$

und

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert \pi ({\delta }_g*m_n*{\delta }_h)-\pi (m_n)\Vert =0$

für alle $g,h\in G$. Die letzte Bedingung bedeutet, dass $P$ eine Projektion auf einen $\pi (G)$-invarianten Unterraum parallel zu einem $\pi (G)$-invarianten Komplementärraum ist.

Beispiele

• Gitter in einfachen Lie-Gruppen oder einfachen algebraischen Gruppen vom Rang mindestens $2$ haben die starke Eigenschaft T.
• Hyperbolische Gruppen haben nie die starke Eigenschaft T.

Anwendungen

Wenn eine Gruppe die starke Eigenschaft T hat, dann hat jede isometrische Wirkung auf einem Hilbert-Raum einen Fixpunkt.

Wenn eine Gruppe mit starker Eigenschaft T auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt und $\frac{1}{l(g)}\underset{x\in M}{\sup }\Vert D_{x}g\Vert \to 0$ gilt, dann handelt es sich um eine isometrische Wirkung.

Literatur

• Vincent Lafforgue: Un renforcement de la propriété (T). Duke Math. J. 143, No. 3, 559–602 (2008).
• Mikael de la Salle: Strong property (T) for higher rank lattices. Acta Math. 223, No. 1, 151–193 (2019).