Derivierte Kategorie

Die derivierte Kategorie $D(𝒜)$ einer abelschen Kategorie $𝒜$ ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.

Quasiisomorphismus

Zuerst bildet man die abelsche Kategorie $Ch(𝒜)$ aller Kettenkomplexe in $𝒜$. Ein Kettenhomomorphismus $f_{*}:C_{*}\to D_{*}$ in $Ch(𝒜)$ heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls $H_n(f):H_n(C)\to H_n(D)$ ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl $n$.

Homotopie-Kategorie

Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie $K(𝒜)$, indem man kettenhomotope Morphismen in $Ch(𝒜)$ miteinander identifiziert. $K(𝒜)$ ist eine triangulierte Kategorie.

Derivierte Kategorie

Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie $D(𝒜)$ aus $K(𝒜)$, indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.

Mengentheoretisches Problem

Seien $A,B$ zwei Objekte aus $𝒜$. In $D(𝒜)$ ist die Gesamtheit aller Morphismen von $A$ nach $B$ nicht immer eine Menge. Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.

Literatur

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