Kettenhomotopie

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition

Es seien $X$ und $Y$ Kokettenkomplexe und $f,g:X\to Y$ zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen $f^k:X^k\to Y^k$, die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass $f^{k+1}\circ d_X^k=d_Y^k\circ f^k$ gilt.

Dann ist eine Kettenhomotopie $D:f\simeq g$ eine Folge von Morphismen $D^k:X^k\to Y^{k-1}$, so dass $f-g=Dd+dD$, oder ausführlicher

$f^k-g^k=D^{k+1}\circ d_X^k+d_Y^{k-1}\circ D^k$ für alle $k$,

gilt.

$f$ und $g$ heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie $D:f\simeq g$ gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen $f=(f_k{)}_k$ und $g=(g_k{)}_k$ zwischen Kettenkomplexen $X=((X_k{)}_k,(d_k^X{)}_k)$ und $Y=((Y_k{)}_k,(d_k^Y{)}_k)$ heißen homotop, wenn es eine Folge $(D_k{)}_k$ von Morphismen $D_k:X_k\to Y_{k+1}$ gibt, so dass

$f_k-g_k=d_{k+1}^Y\circ D_k+D_{k-1}\circ d_k^X$ für alle $k$.

Zwei Kettenkomplexe $X=((X_k{)}_k,(d_k^X{)}_k)$ und $Y=((Y_k{)}_k,(d_k^Y{)}_k)$ heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen $f:X\to Y$ und $g:Y\to X$ gibt, für die die Hintereinanderausführungen $fg$ und $gf$ jeweils homotop zur Identität sind.

Bedeutung

• Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.

• Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.

• Ist insbesondere $C$ ein Kokettenkomplex und $D:{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\simeq 0$ eine Homotopie zwischen der Identität auf $C$ und der Nullabbildung auf $C$, so ist die Kohomologie von $C$ trivial, d. h. $C$ ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.

• Sind zwei stetige Abbildungen $f$ und $g$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ homotop, so sind die zugeordneten Abbildungen $Sf$ und $Sg$ zwischen den zugehörigen singulären Kettenkomplexen homotop im oben definierten Sinne. Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singulären Homologiegruppen gleich.

• Zwei projektive Auflösungen eines Moduls über einem Ring sind homotop. Insbesondere sind die Homologien der Auflösungen gleich, was zum Begriff des abgeleiteten Funktors führt.