Corona-Theorem

In der Mathematik ist das Corona-Theorem ein Satz aus der Funktionentheorie.

Satz

Sei $H^{\mathrm{\infty }}$ der Hardy-Raum, also die Banach-Algebra der beschränkten, holomorphen Funktionen

$f:D\to ℂ$

auf der Kreisscheibe $D:=\{z\in ℂ:|z|<1\}$.

Sei $\delta >0$ und seien $f_1,\dots ,f_n\in H^{\mathrm{\infty }}$, so dass

$|f_1(z)|+\dots +|f_n(z)|\ge \delta$

für alle $z\in D$.

Dann gibt es $g_1,\dots ,g_n\in H^{\mathrm{\infty }}$, so dass

$f_1(z)g_1(z)+\dots +f_n(z)g_n(z)=1$

für alle $z\in D$.

Funktionalanalytische Interpretation

Sei $\mathrm{\Delta }$ die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf $H^{\mathrm{\infty }}$ und $ℳ$ die Menge der Maximalideale des Hardy-Raums $H^{\mathrm{\infty }}$. Durch $\varphi \to \ker (\varphi )$ hat man eine Bijektion $\mathrm{\Delta }\to ℳ$.

Jedem $f\in H^{\mathrm{\infty }}$ kann man durch $\hat{f}(\varphi ):=\varphi (f)$ eine Funktion $\hat{f}:\mathrm{\Delta }\to ℂ$ oder vermittels obiger Bijektion dann eine Funktion

$\hat{f}:ℳ\to ℂ$

zuordnen. Als Gelfand-Topologie bezeichnet man die schwächste Topologie auf $ℳ$, mit der alle $\hat{f}$ stetig sind. Mit dieser Topologie ist $ℳ$ ein kompakter Hausdorff-Raum.

Man kann $D$ als Unterraum von $ℳ$ auffassen, indem man $z\in D$ das Maximalideal

$M_z=\{f\in H^{\mathrm{\infty }}:f(z)=0\}$

zuordnet.

Das Corona-Theorem ist dann äquivalent dazu, dass $D$ dicht in $ℳ$ ist.

Geschichte

Das Corona-Theorem in seiner funktionalanalytischen Formulierung wurde 1941 von Shizuo Kakutani vermutet und 1962 von Lennart Carleson bewiesen. Der Name bezieht sich darauf, dass die Corona von $H^{\mathrm{\infty }}(D)$ durch ${ℳ}_{H^{\mathrm{\infty }}(D)}\setminus \bar{D}$ definiert wird und es nach dem Theorem also keine Corona gibt. Einen elementaren Beweis gab 1979 Thomas Wolff unter Benutzung von $H^2$-Carleson-Maßen und Littlewood-Paley-Theorie.

Weblinks

• Corona-Theorem (Lexikon der Mathematik, Spektrum der Wissenschaft)
• B. Wick: The Corona Problem