Carleson-Maß

In der Mathematik ist ein Carleson-Maß eine Art von Maß auf Teilmengen des $n$-dimensionalen euklidischen Raums ${ℝ}^n$. Grob gesagt ist ein Carleson-Maß auf einem Gebiet $\mathrm{\Omega }$ ein Maß, das am Rand von $\mathrm{\Omega }$ nicht verschwindet, wenn man es mit dem Oberflächenmaß am Rand von $\mathrm{\Omega }$ vergleicht.

Carleson-Maße finden in der harmonischen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zahlreiche Anwendungen, beispielsweise bei der Lösung von Dirichlet-Problemen mit „rauem“ Rand. Die Carleson-Bedingung ist eng mit der Beschränktheit des Poisson-Operators verbunden. Carleson-Maße sind nach dem schwedischen Mathematiker Lennart Carleson benannt.

Definition

Sei $n\in \mathbb{N}$ und sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene (und damit messbare) Menge mit nichtleerem Rand $\partial \mathrm{\Omega }$. Sei μ ein Borel-Maß auf $\mathrm{\Omega }$, und bezeichne $\sigma$ das Oberflächenmaß auf $\partial \mathrm{\Omega }$. Das Maß $\mu$ ist ein Carleson-Maß, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt, so dass für jeden Punkt $p\in \partial \mathrm{\Omega }$ und jeden Radius $r>0$,

$\mu (\mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))\le C\sigma (\partial \mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))$

gilt, wobei

${𝔹}_r(p):=\{x\in {ℝ}^n|\Vert x-p{\Vert }_{{ℝ}^n}<r\}$

die offenen Kugel mit Radius $r$ um $p$ bezeichnet.

Satz von Carleson für den Poisson-Operator

Sei $D$ die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene $ℂ$, ausgestattet mit einem Borel-Maß $\mu$. Für $1\le p<\mathrm{\infty }$ sei $H^p\partial \mathrm{\Omega }$ der Hardy-Raum auf dem Rand von $D$ und $L^p(D,\mu )$ der L^p-Raum auf $D$ für das Maß $\mu$. Der Poisson-Operator

$P:H^p(\partial D)\to L^p(D,\mu )$

ist definiert durch

$P(f)(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{R}\mathrm{e}\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}f(e^{it})\mathrm{d}t$.

Dann ist der lineare Operator $P$ ein beschränkter Operator dann und nur dann, wenn das Maß $\mu$ ein Carleson-Maß ist.

Carleson-Norm und verschwindende Carleson-Bedingung

Das Infimum der Menge der Konstanten C > 0, für welche die Carlson-Bedingung

$\mathrm{\forall }r>0,\mathrm{\forall }p\in \partial \mathrm{\Omega },\mu (\mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))\le C\sigma (\partial \mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))$

erfüllt ist, bezeichnen wir die Carleson-Norm des Maßes $\mu$.

Wenn C(R) durch das Infimum der Menge von allen Konstanten C > 0, für welche die eingeschränkte Carlson-Bedingung

$\mathrm{\forall }r\in (0,R),\mathrm{\forall }p\in \partial \mathrm{\Omega },\mu (\mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))\le C\sigma (\partial \mathrm{\Omega }\cap {𝔹}_r(p))$

erfüllt ist, dann sagen wir, dass das Maß μ die verschwindende Carleson-Bedingung erfüllt, wenn C(R) → 0 für R → 0.

Quellen

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