club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition

Sei $\lambda$ eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge $x\subseteq \lambda$ heißt

• abgeschlossen, wenn für jede Folge $⟨{\alpha }_{\xi }\in x\mid \xi <\mu ⟩$ aus $x$ gilt:

  $\underset{\xi \to \mu }{\lim }{\alpha }_{\xi }=\delta \in \lambda \Rightarrow \delta \in x,$

• unbeschränkt, wenn für alle $\alpha \in \lambda$ ein $\beta \in x$ existiert mit $\alpha \le \beta$.

$x$ heißt club-Menge, falls $x$ sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

Für $\lambda =\omega$ ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter $\omega$ gibt; club-Mengen von $\omega$ sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man $\lambda$ und die Klasse der Ordinalzahlen $\mathrm{Ord}$ mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion $f:\lambda \to \mathrm{Ord}$ eine club-Menge.

Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl $\lambda$ überabzählbar, $\mathrm{cf}\lambda >\omega$, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man ${𝒞}_{\lambda }=\{x\subseteq \lambda \mid \mathrm{\exists }C\subseteq xC\text{ club}\}$, so bildet ${𝒞}_{\mathcal{\lambda }}$ also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• ${𝒞}_{\lambda }$ ist $\mathrm{cf}\lambda$-vollständig: Ist $\gamma \in \mathrm{cf}\lambda$ und $C_{\alpha }\in {𝒞}_{\lambda }$ für $\alpha \in \gamma$, so gilt

  $\bigcap _{\alpha \in \gamma }{C}_{\alpha }\in {𝒞}_{\lambda }.$

• Ist $\lambda$ eine reguläre Kardinalzahl, so ist ${𝒞}_{\lambda }$ abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist $⟨C_{\alpha }\mid \alpha \in \lambda ⟩$ eine Familie von club-Mengen aus ${𝒞}_{\lambda }$, so ist

  $\underset{\alpha \in \lambda }{△}{C}_{\alpha }:=\{\beta \in \lambda \mid \beta \in \bigcap _{\alpha \in \beta }{C}_{\alpha }\}\in {𝒞}_{\lambda }.$

Das zu ${𝒞}_{\lambda }$ duale Ideal, definiert durch ${ℐ}_{\lambda }=\{D\subseteq \lambda \mid \lambda \setminus D\in {𝒞}_{\lambda }\}$, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge $S\subseteq \lambda$ heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also $S\notin {ℐ}_{\lambda }$ gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

• Satz von Fodor
• Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.