Cliquenweite

Die Cliquenweite ist ein Begriff aus der Graphentheorie und ordnet jedem ungerichteten Graphen $G=(V,E)$ eine natürliche Zahl zu. Sie ist daher ein Graphparameter. Mit Hilfe eines k-Ausdrucks (s. u.) lassen sich viele NP-vollständige Probleme wie zum Beispiel HAMILTONKREIS oder CLIQUE und das damit eng verwandte UNABHÄNGIGE MENGE in Zeit $O(f(k)\cdot n)$ lösen, was für konstante $k$ eine lineare Laufzeit ist. Da jedoch nicht bekannt ist, ob ein k-Ausdruck hinreichend schnell berechnet werden kann, ist es zur Zeit unklar, ob man hieraus folgern kann, dass diese Probleme auf Graphen mit beschränkter Cliquenweite effizient zu lösen sind.

Definition

Der Begriff der Cliquenweite eines Graphen wurde erstmals von Bruno Courcelle und Stephan Olariu eingeführt. Für die Definition der Cliquenweite muss zunächst der Begriff des k-markierten Graphen eingeführt werden:

k-markierter Graph

• Für ein $k\in \mathbb{N}$ sei $[k]:=\{1,\dots ,k\}$
• Ein k-markierter Graph $G=(V_G,E_G,la{b}_G)$ ist ein Graph $(V_G,E_G)$, dessen Knoten mit einer Markierungsabbildung $la{b}_G:V_G\to [k]$ markiert werden
• Ein Graph mit genau einem mit $i\in [k]$ markierten Knoten wird mit ${\bullet }_i$ bezeichnet

Cliquenweite

Ein $k$-markierter Graph $G$ hat eine Cliquenweite von höchstens $k$, wenn $G$ in der Graphklasse $C{W}_k$ enthalten ist. Dabei ist $C{W}_k$ induktiv wie folgt definiert:

1. Der $k$-markierte Graph ${\bullet }_i$ (ein Graph bestehend aus einem Knoten mit Markierung $i$) ist in $C{W}_k$ für alle $i=1..k$
2. Seien $G=(V_G,E_G,la{b}_G)$ und $J=(V_J,E_J,la{b}_J)$ knotendisjunkte $k$-markierte Graphen. Dann ist ihre disjunkte Vereinigung $G\oplus J=(V^{\prime },E^{\prime },la{b}^{\prime })$ in $C{W}_k$, mit
   1. $V^{\prime }:=V_G\cup V_J$
   2. $E^{\prime }:=E_G\cup E_J$
   3. $la{b}^{\prime }(u)=\{\begin{array}{cc}la{b}_G(u),& \text{falls }u\in V_G,\\ la{b}_J(u),& \text{falls }u\in V_J\end{array}$    $\mathrm{\forall }u\in V^{\prime }$
3. Seien $i,j\in [k]$ mit $i\ne j$ und $G=(V_G,E_G,la{b}_G)$ ein $k$-markierter Graph. Es sind
   1. der $k$-markierte Graph, der aus G entsteht, indem die Markierung aller mit $i$ markierten Knoten durch eine Markierung mit $j$ ersetzt wird ${\rho }_{i\to j}(G)=(V_G,E_G,la{b}^{\prime })$ in $C{W}_k$ mit $la{b}^{\prime }(u)=\{\begin{array}{cc}la{b}_G(u),& \text{falls }la{b}_G(u)\ne i,\\ j,& \text{falls }la{b}_G(u)=i\end{array}$    $\mathrm{\forall }u\in V^{\prime }$
   2. der $k$-markierte Graph, der aus G entsteht, indem alle mit $i$ markierten Knoten verbunden werden mit allen Knoten, die mit $j$ markiert sind. ${\eta }_{i,j}(G)=(V_G,E^{\prime },la{b}_G)$ in $C{W}_k$ mit $E^{\prime }=E_G\cup \{\{u,v\}|lab(u)=i,lab(v)=j\}$

Die Cliquenweite eines markierten Graphen $G$ ist die kleinste natürliche Zahl $k$ mit $G\in C{W}_k$ und wird mit $cw(G)$ bezeichnet.

Ein Ausdruck $X$, der sich aus den Operationen ${\bullet }_i$, $\oplus$, ${\rho }_{i\to j}$ und ${\eta }_{i,j}$, wobei $i,j\in [k]$, zusammensetzt, wird als Cliquenweite-k-Ausdruck oder k-Ausdruck bezeichnet.

Beispiel

Der ungerichtete Graph mit 6 Knoten $C_6$ hat eine Cliquenweite von 3, da er sich mit den folgenden Operationen erzeugen lässt:

3-Ausdrucksbaum für die Konstruktion des $C_6$

Cliquenweite-Operation	Visualisierung des Graphen
$G_1={\bullet }_1$
$G_2={\bullet }_2$
$G_3=G_1\oplus G_2$
$G_4={\eta }_{1,2}(G_3)$
$G_5=G_4\oplus G_4$
$G_6=G_5\oplus {\bullet }_3$
$G_7={\eta }_{1,3}(G_6)$
$G_8={\rho }_{3\to 1}(G_7)$
$G_9=G_8\oplus {\bullet }_3$
$C_6={\eta }_{2,3}(G_9)$

Der zugehörige $3$-Ausdruck ist

$X={\eta }_{2,3}({\rho }_{3\to 1}({\eta }_{1,3}(\eta ({\bullet }_1\oplus {\bullet }_2)\oplus \eta ({\bullet }_1\oplus {\bullet }_2)\oplus {\bullet }_3))\oplus {\bullet }_3)$

Rechts ist der entsprechende 3-Ausdrucksbaum für $X$ abgebildet.

Cliquenweite spezieller Graphklassen

Obwohl das Bestimmen der Cliquenweite eines Graphen im Allgemeinen NP-vollständig ist, lässt sich die Cliquenweite von gewissen Graphen mit speziellen Eigenschaften zumindest nach oben abschätzen. Es existieren die folgenden Zusammenhänge:

• Jeder vollständige Graph hat eine Cliquenweite von höchstens 2
• Jeder Weg hat eine Cliquenweite von höchstens 3
• Auch Bäume und distanzerhaltende Graphen haben eine Cliquenweite von höchstens 3

Weiterhin ist bekannt, dass Co-Graphen eine Cliquenweite von höchstens 2 haben und dass jeder Graph mit einer Cliquenweite von höchstens 2 ein Co-Graph ist.

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und Baumweite

Es existieren mehrere Zusammenhänge zwischen der Cliquenweite $cw(G)$ und der Baumweite $tw(G)$ eines ungerichteten Graphen $G$.

Die folgende Aussage zeigt, dass sich $cw(G)$ durch $tw(G)$ nach oben abschätzen lässt:

$cw(G)\le 3\cdot 2^{tw(G)-1}$

Umgekehrt hingegen lässt sich die Baumweite eines Graphen im Allgemeinen nicht durch seine Cliquenweite beschränken, wie man sich leicht am Beispiel vollständiger Graphen überlegen kann:

Der vollständige Graph $K_n$ mit $n$ Knoten hat eine Baumweite von $n-1$ und eine Cliquenweite von höchstens 2. Somit gilt für alle $n$ mit $n\ge 4$:

$cw(K_n)<tw(K_n)$.

Allerdings lässt sich unter gewissen Umständen auch die Baumweite durch die Cliquenweite nach oben abschätzen.

Besitzt $G$ keinen vollständig bipartiten Graphen $K_{n,n}$ als Teilgraphen, so gilt die folgende Aussage:

$tw(G)\le 3\cdot (n-1)\cdot cw(G)-1$

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und NLC-Weite

Die Cliquenweite lässt sich sowohl nach unten als auch nach oben durch die NLC-Weite $nlcw(G)$ abschätzen:

$nlcw(G)\le cw(G)\le 2\cdot nlcw(G)$

Literatur

• Bruno Courcelle, Stephan Olariu: Upper bounds to the clique width of graphs, Discrete Applied Mathematics 101 (1–3): 77–144, 2000, doi:10.1016/S0166-218X(99)00184-5
• Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010, ISBN 978-3-642-04499-1
• Jörg Rothe: Komplexitätstheorie und Kryptologie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79744-9