Cesàro-Mittel

Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten $n$ Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende $n$ konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definition

Zu einer gegebenen Zahlenfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ bildet man die arithmetischen Mittel über die ersten $n$ Folgenglieder, also

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1& =a_1\\ {\sigma }_2& =\frac{a_1+a_2}{2}\\ {\sigma }_3& =\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\\ & ⋮\\ {\sigma }_n& =\frac{a_1+\dots +a_n}{n}\\ & ⋮\end{array}$

Man bezeichnet ${\sigma }_n$ dann als das $n$-te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen einen Wert $a$, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $a$, das heißt, aus $a_n\to a$ folgt ${\sigma }_n\to a$ oder ausgeschrieben $\frac{a_1+\dots +a_n}{n}\to a$. Die Folge der Cesàro-Mittel $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge ${((-1{)}^{n+1})}_{n\in \mathbb{N}}=(1,-1,1,-1,\dots )$, sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(1,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\dots )={\left(\frac{1+(-1{)}^{n+1}}{2n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sind die Partialsummen der Reihe $\sum a_n$ definiert als:

$\begin{array}{cc}{s}_1& =a_1\\ s_2& =a_1+a_2\\ s_3& =a_1+a_2+a_3\\ & ⋮\\ s_n& =a_1+\dots +a_n\\ & ⋮\end{array}$

Zu dieser Folge $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ bildet man nun die Cesàro-Mittel ${\sigma }_n=\frac{s_1+\dots +s_n}{n}$. Konvergieren diese, das heißt ${\sigma }_n\to \sigma$, so bezeichnet man die Reihe $\sum a_n$ Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder $C_1$-summierbar zum Wert $\sigma$ und schreibt $C\text{-}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sigma$. Den Grenzwert $\sigma$ nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wird dann als Cesàro-summierbar oder $C_1$-summierbar zum Wert $\sigma$ bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n=(-1{)}^{n+1}$ die zugehörige Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}$, dann erhält man die folgenden Partialsummen:

$\begin{array}{cc}{s}_1& =1\\ s_2& =1-1=0\\ s_3& =1-1+1=1\\ & ⋮\\ s_{2n}& =\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k+1}=0\\ s_{2n+1}& =\sum _{k=1}^{2n+1}(-1{)}^{k+1}=1\\ & ⋮\end{array}$

Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1& =1\\ {\sigma }_2& =\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}\\ {\sigma }_3& =\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}\\ & ⋮\\ {\sigma }_{2n}& =\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{2n}{s}_k=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\\ {\sigma }_{2n+1}& =\frac{1}{2n+1}\sum _{k=1}^{2n+1}{s}_k=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot (2n+1)}\\ & ⋮\end{array}$

Es gilt ${\sigma }_n\to \frac{1}{2}$ und damit $C\text{-}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}=\frac{1}{2}$. Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Terminologie

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe $\sum a_n$ haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder $C_1$-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe $\sum a_n$ entspricht.

Anwendungen

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
• Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
• Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96

Weblinks

• Timo Weidl: Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro – Teil eines Analysis II Skripts (Uni Stuttgart)
• Richard Hensh: Infinite Series – Vorlesungsmaterialen (Michigan State University), S. 11–15
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)