Dirichlet-Kern

Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Definition

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}.$

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von $D_n(x)$ mit einer Funktion $f$ der Periode $2\pi$ ist die Fourier-Approximation $n$-ten Grades für $f$. Beispielsweise ist

$(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(y)D_n(x-y)dy=\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx},$

wobei

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-ikx}dx$

der $k$-te Fourierkoeffizient von $f$ ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L¹-Norm von $D_n$ für $n\to \mathrm{\infty }$ logarithmisch gegen $\mathrm{\infty }$ geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden. Explizit gilt nämlich:

$\int |D_n(t)|dt=\frac{4}{{\pi }^2}\log n+𝒪(1)$

Für die $𝒪$-Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit $2\pi$-periodischen Funktionen:

$f*(2\pi \delta )=f$

für jede Funktion $f$ mit Periode $2\pi$. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ikx}=(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx)).$

Beweis der trigonometrischen Identität

Die trigonometrische Identität

$\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$

Insbesondere gilt

$\sum _{k=-n}^n{r}^k=r^{-n}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.$

Multipliziert man Zähler und Nenner mit $r^{-\frac{1}{2}}$, erhält man

$\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}=\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.$

Im Fall von $r=e^{ix}$ erhält man

$\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}=\frac{-2i\sin ((n+1/2)x)}{-2i\sin (x/2)}$

und kürzt schließlich mit $-2i$.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))

Weblinks

• Dirichlet Kernel bei PlanetMath (engl.)