Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine $2\pi$-periodische, stetige Funktion $f$, das heißt $f\in C_{2\pi }$, das $n$-te Fejér-Polynom ${\sigma }_n(f)$ definiert durch

${\sigma }_n(f)(x):=\sum _{k=-n}^n(1-\frac{\left|k\right|}{n+1})\hat{f}(k){\mathrm{e}}^{ikx},$

wobei

$\hat{f}(k):=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-ikt}\mathrm{d}t$

der $k$-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede $2\pi$-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen – Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

${\sigma }_n(f)(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{S}_k(f)(x),$

wobei

$S_k(f)(x):=\sum _{j=-k}^k\hat{f}(j){\mathrm{e}}^{ijx}$

die $k$-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede $2\pi$-periodische, stetige Funktion $f$ konvergiert die Folge der Fejér-Polynome ${\sigma }_n(f)$ gleichmäßig gegen $f$, d. h.

$f\in C_{2\pi }\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert {\sigma }_n(f)-f{\Vert }_{C_{2\pi }}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in [-\pi ,\pi ]}|{\sigma }_n(f)(x)-f(x)|)=0.$

Fejér-Kern

Der n-te Fejér-Kern ${\sigma }_n(x)$ ist definiert durch

${\sigma }_n(x):=\sum _{k=-n}^n(1-\frac{\left|k\right|}{n+1}){\mathrm{e}}^{ikx}$.

Faltung

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

${\sigma }_n(f)(x)=({\sigma }_n*f)(x):=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t){\sigma }_n(x-t)\mathrm{d}t$

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_k(x)$

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

$D_n(x):=\sum _{k=-n}^n{\mathrm{e}}^{ikx}$

Positiver reeller Kern

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

$D_k(x)=1+2\sum _{j=1}^k\cos (jx)=\frac{\sin \left(\frac{2k+1}{2}x\right)}{\sin (x/2)}$

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

$\sum _{k=0}^n\sin \left(\frac{2k+1}{2}x\right)=\frac{{\sin }^2\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin (x/2)}$

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns:

${\sigma }_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n+1}{\left(\frac{\sin \left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin (\frac{x}{2})}\right)}^2,& x\notin 2\pi \mathbb{Z},\\ n+1,& x\in 2\pi \mathbb{Z}.\end{array}$

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen $\sin$ und $\cos$ die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen $f\in C_{2\pi }$ folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen

Für Hölder-stetige Funktionen $f$ lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört $f$ für ein $0<\alpha \le 1$ zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen $C^{\alpha }$, d. h.

$\Vert f(\cdot +h)-f(\cdot ){\Vert }_{C_{2\pi }}=𝒪(|h{|}^{\alpha })\text{ für }h\to 0,$

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

$\Vert {\sigma }_n(f)-f{\Vert }_{C_{2\pi }}=\{\begin{array}{cc}𝒪(n^{-\alpha }),& 0<\alpha <1,\\ 𝒪\left(\frac{\log (n)}{n}\right),& \alpha =1,\end{array}\text{ für }n\to \mathrm{\infty }.$

Literatur

• N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
• P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
• Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
• Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.