Modulare Funktion (harmonische Analyse)

Vorlage:Weiterleitungshinweis Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Definition

Es sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß $\mu$ auf $G$. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass $\mu (tA)=\mu (A)$ für alle $t\in G$ und alle Borelmengen $A\subset G$. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass $\mu$ auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus $\mu (At)=\mu (A)$ gelten.

Für festes $t\in G$ ist die Abbildung ${\mu }_t:A\mapsto \mu (At)$ ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl ${\mathrm{\Delta }}_G(t)\in {ℝ}^{+}$ mit ${\mu }_t={\mathrm{\Delta }}_G(t)\mu$, das heißt $\mu (At)={\mathrm{\Delta }}_G(t)\mu (A)$ für alle messbaren $A\subset G$.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung ${\mathrm{\Delta }}_G:G\to {ℝ}^{+}$, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes $\mu$ erweist und ein stetiger Homomorphismus von $G$ in die multiplikative Gruppe ${ℝ}^{+}$ ist. ${\mathrm{\Delta }}_G$ heißt die modulare Funktion von $G$

Unimodulare Gruppen

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion ${\mathrm{\Delta }}_G(t)=1$ für alle $t\in G$ ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
• Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in ${ℝ}^{+}$ sein, und da kommt nur $\{1\}$ in Frage.
• Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe $GL(n,ℝ)$. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

$\mu (A)=\underset{A}{\int }\frac{1}{|\det (u)|}\mathrm{d}\lambda (u)$

gegeben, wobei $\lambda$ das Lebesguemaß auf ${ℝ}^{n^2}$ ist.

Beispiel

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei $G$ die lokalkompakte Gruppe aller $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$

mit $a,b\in ℝ,a>0$. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch

$\mu (A)=\underset{ℝ}{\int }\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\frac{1}{a^2}\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

gegeben, ein rechtsinvariantes durch

$\nu (A)=\underset{ℝ}{\int }\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\frac{1}{a}\mathrm{d}a\mathrm{d}b$.

Damit ergibt sich

${\mathrm{\Delta }}_G(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right))=\frac{1}{a}$.

Rechenregeln

Es sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß $\mu$. Für eine Funktion $f:G\to R$ sei $f_s(t):=f(t{s}^{-1})$, die sogenannte Translation von $f$ um $s$.

Ist ${\chi }_A$ die charakteristische Funktion der Borelmenge $A$, so ist $({\chi }_A{)}_s={\chi }_{As}$ und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

$\int ({\chi }_A{)}_s(t)\mathrm{d}\mu (t)=\int {\chi }_{As}(t)\mathrm{d}\mu (t)=\mu (As)={\mathrm{\Delta }}_G(s)\mu (A)={\mathrm{\Delta }}_G(s)\int {\chi }_A(t)\mathrm{d}\mu (t)$.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede $\mu$-integrierbare Funktion $f$:

$\int f_s(t)\mathrm{d}\mu (t)={\mathrm{\Delta }}_G(s)\int f(t)\mathrm{d}\mu (t)$.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für $\mu$-integrierbare Funktionen $f$ auf $G$ gilt

$\int f(t^{-1}){\mathrm{\Delta }}_G(t^{-1})\mathrm{d}\mu (t)=\int f(t)\mathrm{d}\mu (t)$.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra $L^1(G)$ vor. Auf dem $L^1$-Raum über $(G,\mu )$ definiere man für Funktionen $f,g\in L^1(G)$

$f\star g(t):=\int f(s)g(s^{-1}t)\mathrm{d}\mu (s)$

$f^{*}(t):={\mathrm{\Delta }}_G(t^{-1})\overline{f(t^{-1})}$.

Dabei ist $f\star g$ nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch $\star$ definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung $f\mapsto f^{*}$ wird $L^1(G)$ zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution. Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.