Blätterungskohomologie

In der Mathematik ist die Blätterungskohomologie eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blätterungen.

Sie ist eine Modifikation der De-Rham-Kohomologie, bei der die Differentialformen und Differentiale nur entlang von Blättern betrachtet werden. Sie hat eine im Vergleich zur De-Rham-Kohomologie sehr viel komplexere Struktur, zum Beispiel sind die Kohomologiegruppen auch bei kompakten Mannigfaltigkeiten oft unendlich-dimensional.

Definition

Sei $M$ eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit und $ℱ$ eine $C^r$-Blätterung der Kodimension $q=n-p$ mit $1\le r\le \mathrm{\infty }$ und $0\le p\le n$. Man bezeichnet mit $Tℱ$ das zu den Blättern von $ℱ$ tangentiale Unterbündel des Tangentialbündels $TM$ und mit $T^{*}ℱ$ das duale Bündel.

Der Raum der Blätterungsdifferentialformen (d. h. der entlang von Blättern definierten Differentialformen) ist

${\mathrm{\Omega }}^{*}(M,ℱ):={\mathrm{\Gamma }}^r(M,{\mathrm{\Lambda }}^{*}(T^{*}ℱ))$,

also der Raum der $C^r$-Schnitte in der äußeren Algebra von $T^{*}ℱ$. Äquivalent ist

${\mathrm{\Omega }}^{*}(M,ℱ)={\mathrm{\Omega }}^{*}(M)/I^{*}(ℱ)$

mit

$I^{*}(ℱ):=\{\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)|\omega (v)=0\mathrm{\forall }v\in {\mathrm{\Gamma }}^r(M,{\mathrm{\Lambda }}^k(Tℱ))\}$.

Nach dem Satz von Frobenius bildet die äußere Ableitung $I^{*}(ℱ)$ auf sich ab und definiert somit ein wohldefiniertes Differential

$d^{*}:{\mathrm{\Omega }}^{*}(M,ℱ)\to {\mathrm{\Omega }}^{*+1}(M,ℱ)$.

Lokal kann man in einer Blätterungskarte eine Blätterungsdifferentialform als

$\omega =\sum _{i_1,\dots ,i_k}f(x_1,\dots ,x_p,y_1,\dots ,y_q)d{x}_{i_1}\vee \dots \vee d{x}_{i_k}$

beschreiben, wobei $x_1,\dots ,x_p$ die lokalen Koordinaten in Richtung der Blätter und $y_1,\dots ,y_q$ die Koordinaten in transversaler Richtung sind. In solchen Koordinaten beschreibt man das Differential durch

$d\omega =\sum _{i_1,\dots ,i_k}\sum _j\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_1,\dots ,x_p,y_1,\dots ,y_q)d{x}_{i_1}\vee \dots \vee d{x}_{i_k}$.

Die Blätterungskohomologie ist dann definiert als

$H^{*}(M,ℱ):=\mathrm{Kern}(d^{*})/\mathrm{Bild}(d^{*+1})$.

Die Kohomologiegruppen sind Frechet-Räume, die im Allgemeinen nicht hausdorffsch sein müssen. Man betrachtet deshalb auch die reduzierte Blätterungskohomologie

$\stackrel{*}{\stackrel{‾}{H}}(M,ℱ):=\mathrm{Kern}(d^{*})/\overline{\mathrm{Bild}(d^{*+1})}$.

Beispiele

• Für die Blätterung des ${ℝ}^1$ durch Punkte ist $H^0(ℝ,ℱ)=C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ und $H^k(ℝ,ℱ)=0$ für $k>0$.
• Für die von einer Untergruppe $H\subset G$ induzierte Blätterung eines lokal homogenen Raums $M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$ ist $H^{*}(M,ℱ)=H^{*}(𝔥,C^{\mathrm{\infty }}(M))$, wobei $𝔥$ die Lie-Algebra von $H$ und $H^{*}(𝔥,C^{\mathrm{\infty }}(M))$ ihrer Lie-Algebren-Kohomologie mit Koeffizienten in $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ ist.

Eigenschaften

• Die Blätterungskohomologie ist invariant unter tangentialen Homotopien.
• Es gibt eine natürliche Mayer-Vietoris-Sequenz für die Blätterungskohomologie.
• Für Riemannsche Blätterungen lässt sich die Blätterungskohomologie mittels transversaler Hodge-Theorie einer bündelartigen Metrik berechnen.

Siehe auch

• Basisartige Kohomologie

Literatur

• B. Mümken: A coincidence formula for foliated manifolds, Dissertation Universität Münster, 2002.
• C. Peters: Blätterung von Nilmannigfaltigkeiten, Dissertation Universität Düsseldorf, 2003.
• S. Maßberg: Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären, Dissertation Universität Düsseldorf, 2008.