Beschränkte schwach-*-Topologie

Die beschränkte schwach-*-Topologie, kurz bw*-Topologie (nach der englischen Bezeichnung "bounded weak* topology"), ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Topologie auf dem Dualraum eines normierten Raums. Sie ist eng mit der schwach-*-Topologie verbunden.

Definition

Sei $X$ ein normierter Raum und $X^{\prime }$ sein Dualraum. Die bw*-Topologie ist die feinste Topologie auf $X^{\prime }$, deren Relativtopologie auf allen beschränkten Mengen mit der schwach-*-Topologie übereinstimmt.

Definiert man zu jeder beschränkten Menge $B\subset X^{\prime }$ die Inklusion ${\iota }_B:B\to X^{\prime }$, so ist die bw*-Topologie die Finaltopologie der Abbildungen ${\iota }_B$. Eine Menge $U\subset X^{\prime }$ ist genau dann bw*-offen, wenn der Durchschnitt $U\cap B$ für alle beschränkten Mengen $B\subset X^{\prime }$ relativ schwach-*-offen ist.

Basis der bw*-Topologie

Die hier beschriebene Basis der bw*-Topologie geht auf Jean Dieudonné zurück. Ist $X$ ein normierter Raum, $f\in X^{\prime }$ ein Element des Dualraums und $(x_n{)}_n$ eine Nullfolge in $X$, so sei

$B(f,(x_n{)}_n):=\{g\in X^{\prime };|(f-g)x_n|<1\text{ für alle }n\in \mathbb{N}\}$.

Diese Mengen bilden eine Umgebungsbasis offener Mengen von $f$. Da diese Mengen offenbar konvex sind, ist die bw*-Topologie eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie. Ist $(x_n{)}_n$ eine Nullfolge, so ist durch

$p_{(x_n{)}_n}(f):=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|f(x_n)|$

eine Halbnorm auf $X^{\prime }$ definiert und die bw*-Topologie ist genau die von diesen Halbnormen erzeugte lokalkonvexe Topologie.

Vollständigkeit

Ist $X$ ein normierter Raum, so ist der Dualraum mit der bw*-Topologie vollständig, das heißt jedes bw*-Cauchy-Netz konvergiert. Genauer bedeutet das: Ist $(f_{\alpha }{)}_{\alpha }$ ein Netz in $X^{\prime }$, so dass es zu jeder Nullfolge $(x_n{)}_n$ aus $X$ einen Index $\gamma$ gibt, so dass $f_{\alpha }-f_{\beta }\in B(0,(x_n{)}_n)$ für alle $\alpha ,\beta >\gamma$, so gibt es ein $f\in X^{\prime }$ mit $f_{\alpha }\to f$ bzgl. der bw*-Topologie.

Insbesondere ergibt sich, dass die bw*-Topologie für unendlichdimensionale Räume echt feiner ist als die schwach-*-Topologie ist, denn letztere ist bekanntlich nicht vollständig.

bw*-stetige lineare Funktionale

Ist $X$ ein Banachraum, so fallen die schwach-*-stetigen und die bw*-stetigen linearen Funktionale auf $X^{\prime }$ zusammen. Daraus ergibt sich

• Ein lineares Funktional auf $X^{\prime }$ ist genau dann schwach-*-stetig, wenn die Einschränkung auf die Einheitskugel schwach-*-stetig ist.

Außerdem kann daraus sehr leicht der Satz von Krein-Šmulian über schwach-*-abgeschlossene, konvexe Mengen hergeleitet werden. Dies ist im unten angegebenen Lehrbuch ausgeführt.

Kompakte Operatoren

Mittels der bw*-Topologie können kompakte Operatoren charakterisiert werden. Ist $T:X\to Y$ ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist der adjungierte Operator $T^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ bekanntlich stetig, wenn auf beiden Räumen die Normtopologie, die schwach-*-Topologie oder die bw*-Topologie betrachtet wird. Interessante Aussagen sind also erst zu erwarten, wenn man auf den Räumen unterschiedliche Topologien betrachtet. Es gilt folgender Satz:

• Ein stetiger linearer Operator $T:X\to Y$ zwischen Banachräumen ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator $T^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ stetig ist bzgl. der bw*-Topologie auf $Y^{\prime }$ und der Normtopologie auf $X^{\prime }$.

bw-Topologie und cbw-Topologie

In Analogie zur bw*-Topologie auf einem Dualraum kann man die bw-Topologie auf dem Ausgangsraum als feinste Topologie, die auf allen beschränkten Mengen mit der relativen schwachen Topologie übereinstimmt, definieren. Diese Topologie hat bei Weitem nicht die Bedeutung wie die bw*-Topologie, denn sie ist im Allgemeinen nicht lokalkonvex. 1974 hat R. F. Wheeler gezeigt, dass die bw-Topologie auf dem Folgenraum $c_0$ nicht lokalkonvex ist, und 1984 konnte J. Gómez Gil sogar zeigen, dass die bw-Topologie genau dann lokalkonvex ist, wenn der Raum reflexiv ist. Für reflexive Räume $X$ bringt die bw-Topologie aber nichts Neues, denn dann ist $X\cong X^{″}$ selbst ein Dualraum, und die bw-Topologie stimmt mit der bw*-Topologie überein, wenn man $X$ mit $X^{″}$ identifiziert.

Um eine lokalkonvexe Topologie zu erhalten, definiert man auf $X$ die cbw-Topologie, die von allen konvexen, offenen Mengen der bw-Topologie erzeugt wird. Diese ist lokalkonvex und stimmt mit der relativen bw*-Topologie von $X^{″}$ überein, wenn man $X$ bzgl. der kanonischen Einbettung als Unterraum von $X^{″}$ auffasst.