Satz von Krein-Šmulian

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Ist $E$ ein Banachraum, so sei ${E_r}^{\prime }$ die abgeschlossene $r$-Kugel im Dualraum von $E$, wobei $r>0$ sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also $M\subset E^{\prime }$ eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen $M\cap {E_r}^{\prime },r>0$ schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen $M$ auch die Umkehrung gilt:

• Satz von Krein-Šmulian: Seien $E$ ein Banachraum und $M\subset E^{\prime }$ eine konvexe Menge. Wenn $M\cap {E_r}^{\prime }$ für jedes $r>0$ schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch $M$ schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Ein Beispiel

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn $M$ nicht konvex ist. Dazu seien $F_n\subset E^{\text{'}}$ $n$-dimensionale Teilräume mit $F_1\subset F_2\subset F_3\subset \dots$ und $S_n:=\{f\in F_n;\Vert f\Vert =n\}$ sei die Kugelfläche mit Radius $n$ in $F_n$. Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz $M_n\subset S_n$. Setze $M=M_1\cup M_2\cup M_3\cup \dots .$.

Dann ist $M\cap {E_r}^{\prime }$ für jedes $r>0$ endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. $M$ selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von $M$. Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form $U=\{f\in E{}^{\prime };|f(x_1)|<ϵ,\dots |f(x_m)|<ϵ\}$, wobei $x_1,\dots ,x_m\in E$ und $ϵ>0$, ein Element aus $M$ enthält. Wähle dazu $n$ so groß, dass $\underset{i=1,\dots m}{\max }\Vert x_i\Vert <nϵ$ und $n>m$. Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein $g\in S_n$ mit $g(x_1)=\dots =g(x_m)=0$. Wähle nun ein $f\in M_n$ mit $\Vert f-g\Vert <1/n$. Dann ist $f\in M\cap U$, denn $|f(x_i)|=|f(x_i)-g(x_i)|\le \Vert f-g\Vert \cdot \Vert x_i\Vert <ϵ$ für alle $i=1,\dots ,m$.

Die bw*-Topologie

Vorlage:Hauptartikel Man erkläre eine Menge $M\subset E^{\prime }$ als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt $M\cap {E_r}^{\prime }$ für jedes $r>0$ schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

• Seien $E$ ein Banachraum und $M\subset E^{\prime }$ eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von $M$ überein.

Satz von Banach-Dieudonné

• Seien $E$ ein Banachraum und $U\subset E^{\prime }$ ein Unterraum. $U$ ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn $U\cap E_1^{\text{'}}$ schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen $U\cap E_r^{\text{'}}=r\cdot (U\cap E_1^{\text{'}})$ offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen

• M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3-540-06148-7