(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum $E$, für den es eine Folge $(E_n{)}_n$ von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

1. $E_n\subset E_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb{N}$
2. Für jedes $n\in \mathbb{N}$ trägt $E_n$ die durch $E_{n+1}$ gegebene Teilraumtopologie.
3. $E$ ist die Vereinigung aller $E_n$.
4. $E$ trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $E_n\subset E$ stetig macht.

In dieser Situation nennt man $(E_n{)}_n$ eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für $E$. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von $E_n$ nach $E_{n+1}$ stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum $E$ ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge $E_n=E$ wählen.

Sei $c_{00}$ der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man ${𝕂}^n$ mit dem Raum aller Folgen, die ab der $(n+1)$-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist $({𝕂}^n{)}_n$ eine darstellende Folge für den (LF)-Raum $c_{00}$, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf $c_{00}$ ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist $K\subset {ℝ}^m$ kompakt, so sei $C^{\mathrm{\infty }}(K)$ der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in $K$. Ist $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m$ offen, so nennt den Raum $𝒟(\mathrm{\Omega }):=\bigcup \{C^{\mathrm{\infty }}(K);K\subset \mathrm{\Omega }\text{kompakt}\}$ den Raum der Testfunktionen auf $\mathrm{\Omega }$. $𝒟(\mathrm{\Omega })$ trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $C^{\mathrm{\infty }}(K)\subset 𝒟(\mathrm{\Omega })$ stetig macht. Dann ist $𝒟(\mathrm{\Omega })$ ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge $(C^{\mathrm{\infty }}(K_n){)}_n$ nehmen, wobei $(K_n{)}_n$ eine Folge von kompakten Teilmengen in $\mathrm{\Omega }$ ist, so dass jedes $K_n$ im Inneren von $K_{n+1}$ liegt und $\mathrm{\Omega }$ die Vereinigung dieser $K_n$ ist. Die Topologie auf $𝒟(\mathrm{\Omega })$ ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge $(E_n{)}_n$ gilt folgender Satz:

• Eine Menge $B\subset E$ ist genau dann beschränkt, wenn es ein $n\in \mathbb{N}$ gibt, so dass $B\subset E_n$ und $B$ in $E_n$ beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum $E$ mit darstellender Folge $(E_n{)}_n$ in einen anderen lokalkonvexen Raum $F$ lässt sich wie folgt charakterisieren:

• Ein linearer Operator $T:E\to F$ ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen $T{|}_{E_n}:E_n\to F$ stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist $(T_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$ eine Familie stetiger linearer Operatoren $E\to F$ zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei $E$ (LF)-Raum sei, und ist $\{T_{\alpha }(x);\alpha \in I\}$ für jedes $x\in E$ beschränkt, so ist $(T_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$ gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung $V\subset F$ gibt es eine Nullumgebung $U\subset E$, so dass $T_{\alpha }(U)\subset V$ für alle $\alpha \in I$.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung $T:E\to F$ zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung $T:E\to F$ zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^m$ als lineare Abbildung $T:𝒟(\mathrm{\Omega })\to ℝ$, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist $K\subset \mathrm{\Omega }$ kompakt und ist $(f_n{)}_n$ eine Folge in $𝒟(\mathrm{\Omega })$, so dass jedes $f_n$ Träger in $K$ hat und so dass $f_n\to 0$ gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist $T(f_n)\to 0$.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn $𝒟(\mathrm{\Omega })$ ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von $T$ auf $C^{\mathrm{\infty }}(K)$, $K\subset \mathrm{\Omega }$ kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf $𝒟(\mathrm{\Omega })$.

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum $𝒟(\mathrm{\Omega })$ definieren.

Quellen

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9