Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall $[0,\mathrm{\infty }]$ ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.

Differentialgleichung und Polynome

Laguerresche Differentialgleichung

Die laguerresche Differentialgleichung

$x{y}^{″}(x)+(1-x)y^{\prime }(x)+ny(x)=0$,

ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für $x>0$ und $n=0,1,2,\dots$

Sie ist ein Spezialfall der Sturm-Liouville-Differentialgleichung

$-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=ny$

Erste Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten

$\begin{array}{cc}{L}_0(x)& =1\\ L_1(x)& =-x+1\\ L_2(x)& =\frac{1}{2}(x^2-4x+2)\\ L_3(x)& =\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)\\ L_4(x)& =\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)\end{array}$

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor $n!$ größer sind.

Eigenschaften

Rekursionsformeln

Das Laguerre-Polynom $L_{n+1}(x)$ lässt sich mit den ersten beiden Polynomen

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

über die folgende Rekursionsformel berechnen

$(n+1)L_{n+1}(x)=((2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)).$

Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:

${L_n}^{\prime }(x)=L_{n^{\prime }-1}(x)-L_{n-1}(x)$,

$(x-n-1){L_n}^{\prime }(x)=-(n+1)L_{n^{\prime }+1}(x)-(2n+2-x)L_n(x)+(n+1)L_{n+1}(x)$,

$x{L_n}^{\prime }(x)=n{L}_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$.

Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet

$L_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k$.

Beispiel

Es wird das Polynom $L_3(x)$ für $n=2$ berechnet. Also

$L_3(x)=\frac{1}{3}((4+1-x)L_2(x)-2L_1(x))$.

Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom $L_2(x)$ für $n=1$ zu bestimmen. Es ergibt sich

$L_2(x)=\frac{1}{2}((2+1-x)L_1(x)-1L_0(x))=\frac{1}{2}((3-x)(1-x)-1)=\frac{1}{2}(3-4x+x^2-1)=\frac{1}{2}(2-4x+x^2)$

Somit lautet das Polynom $L_3(x)$

$\begin{array}{cc}{L}_3(x)& =\frac{1}{3}((4+1-x)\frac{1}{2}(2-4x+x^2)-2(1-x))=\frac{1}{6}((5-x)(2-4x+x^2)-4+4x)\\ & =\frac{1}{6}(10-20x+5x^2-2x+4x^2-x^3-4+4x)=\frac{1}{6}(6-18x+9x^2-x^3).\end{array}$

Rodrigues-Formel

Das $n$-te Laguerre-Polynom lässt sich mit der Rodrigues-Formel wie folgt darstellen

$L_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left(x^n{\mathrm{e}}^{-x}\right)$

und

$L_n(x)=\frac{1}{n!}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-1{)}^n{x}^n.$

Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)=({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n{)}^{(n)}$, ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{(k)}=(-1{)}^k{\mathrm{e}}^{-x}$ sowie $(x^n{)}^{(n-k)}=\frac{n!}{k!}{x}^k$ gemäß

$\begin{array}{cc}{L}_n(x)& =\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n{)}^{(n)}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})({\mathrm{e}}^{-x}{)}^{(k)}(x^n{)}^{(n-k)}\\ \\ & =\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k{\mathrm{e}}^{-x}\frac{n!}{k!}{x}^k=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k.\end{array}$

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität $(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^{(n-k)}{x}^n=(x^n{)}^{(n-k)}=\frac{n!}{k!}{x}^k$ wie folgt

$\begin{array}{cc}{L}_n(x)& =\frac{1}{n!}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-1{)}^n{x}^n=\frac{1}{n!}(-1+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^n{x}^n=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^{(n-k)}{x}^n\\ \\ & =\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k(x^n{)}^{(n-k)}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k\frac{n!}{k!}{x}^k=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k.\end{array}$

Orthogonale Polynome

Da die Laguerre-Polynome für $n\to \mathrm{\infty }$ und/oder $x\to \mathrm{\infty }$ divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen $L_n$ eine Orthonormalbasis im Hilbertraum $L^2([0,\mathrm{\infty }],w(x)\mathrm{d}x)$ der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion $w(x)={\mathrm{e}}^{-x}$. Demzufolge gilt

$⟨L_n,L_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{L}_n(x)L_m(x)\mathrm{d}x={\delta }_{nm}.$

Hierbei bedeutet ${\delta }_{nm}$ das Kronecker-Delta.

Beweis

Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht $w(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ orthogonal sind, für $n\ne m$ gilt demnach $⟨L_n,L_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{L}_n(x)L_m(x)\mathrm{d}x=0.$

Mit dem Sturm-Liouville-Operator $ℒ=-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)$ ergeben sich für die Laguerre-Polynome $L_n,L_m$ folgende Ausgangsgleichungen:

(1) $ℒL_n=-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)=n{L}_n$

und

(2) $ℒL_m=-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)=m{L}_m$.

Wird Gleichung (1) von links mit $L_m$ multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit $L_n$ multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

(3) $L_nℒL_m-L_mℒL_n=-L_n{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)+L_m{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)$

und

(4) $L_nℒL_m-L_mℒL_n=(m-n)L_m{L}_n$.

Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term $-{\mathrm{e}}^x$ bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen

$L_n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}{L}_n\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)-\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}$

und

$L_m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}{L}_m\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)-\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}$.

Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

(5) $\begin{array}{cc}{L}_nℒL_m-L_mℒL_n& =-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}{L}_n\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}\right)+{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}{L}_m\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x}\right)\\ \\ & =-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}(L_n\frac{\mathrm{d}{L}_m}{\mathrm{d}x}-L_m\frac{\mathrm{d}{L}_n}{\mathrm{d}x})\right)\\ \\ & =-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x{\mathrm{e}}^{-x}W(L_n,L_m)),\\ \end{array}$

wobei $W(L_n,L_m)=\left|\begin{array}{cc}{L}_n& L_m\\ {L_n}^{\prime }& {L_m}^{\prime }\end{array}\right|$ die Wronski-Determinante der Funktionen $L_n,L_m$ bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung $ℒy=-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)y=-x{y}^{″}-{\mathrm{e}}^x(x{\mathrm{e}}^{-x}{)}^{\prime }{y}^{\prime }=-x{y}^{″}-(1-x)y^{\prime }=0$ oder $y^{″}+\frac{1-x}{x}{y}^{\prime }=0$ betrachtet, so dass eine hebbare Singularität bei $x=0$ entsteht. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{1-x}{x}\end{array}\right)$ und deren Spur ist $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}\left(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{1-x}{x}\end{array}\right)\right)=-\frac{1-x}{x}$. Somit lautet die Abelsche Identität:

$W(L_n,L_m)(x)=W(L_n,L_m)(0)\exp \left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\right(1-\frac{1}{\xi }\left)\mathrm{d}\xi \right)$.

Da $L_n$ und $L_m$ linear unabhängig sind, ist $W(L_n,L_m)(0)>0$ – bei genauer Betrachtung ist $W(L_n,L_m)(0)=1$ – und es ergibt sich folgendes Resultat:

$\begin{array}{cc}W(L_n,L_m)(x)& =W(L_n,L_m)(0)\exp \left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}\right(1-\frac{1}{\xi }\left)\mathrm{d}\xi \right)=W(L_n,L_m)(0)\exp \left(\right[\xi -\ln \xi {]}_0^x)\\ & =\underset{\xi \to x}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\exp (\xi -\ln \xi )-\underset{\xi \to 0}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\exp (\xi -\ln \xi )\\ & =\underset{\xi \to x}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{\exp (\xi )}{\exp (\ln \xi )}-\underset{\xi \to 0}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{\exp (\xi )}{\exp (\ln \xi )}\\ & =\underset{\xi \to x}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{\xi }+\underset{\xi \to 0}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{\xi }\\ & =W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}+\underset{\xi \to 0}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{\xi }+C.\end{array}$

Die Integrationskonstante wird $C=-\underset{\xi \to 0}{\lim }W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{\xi }$ gewählt und Gleichung (5) wird mit ${\mathrm{e}}^{-x}$ multipliziert, so dass folgt:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-x}(L_nℒL_m-L_mℒL_n)& =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x{\mathrm{e}}^{-x}W(L_n,L_m)(0)\frac{{\mathrm{e}}^x}{x})\\ & =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(W(L_n,L_m)(0))\end{array}$

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

$-{\mathrm{e}}^{-x}(L_nℒL_m-L_mℒL_n)\mathrm{d}x=\mathrm{d}(W(L_n,L_m)(0))$

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da $W(L_n,L_m)(0)$ eine konstante Funktion ist, gilt $\mathrm{d}(W(L_n,L_m)(0))=0$. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung $\phi (t)=t,\phi (t_0)=0,\phi (t_1)=\mathrm{\infty },\dot{\phi }(t)=1$ zu wählen. Das Integral lautet nun:

$\underset{\phi }{\int }\omega =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\omega }_{\phi (t)}(\dot{\phi }(t))\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w(L_nℒL_m-L_mℒL_n)\mathrm{d}t=0$.

Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall $[0,\mathrm{\infty }]$, so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

$0=(m-n)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{L}_m{L}_n\mathrm{d}t$

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:

$⟨L_n,L_m⟩=⟨L_m,L_n⟩=0$.

Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht $w(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ beschränkt sind, für $n=m$ gilt demnach $⟨L_n,L_m⟩=\int {\mathrm{e}}^{-x}{L}_n(x)L_m(x)\mathrm{d}x=1$, oder abkürzend $⟨L_n,L_n⟩=1$.

Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung $L_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k$ und anderseits die Rodrigues-Formel $L_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)$ benutzt. Es gilt:

$⟨L_n,L_n⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)\mathrm{d}x$.

Für $n=0$ mit $\frac{{\mathrm{d}}^{n=0}}{\mathrm{d}{x}^{n=0}}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^0\right)={\mathrm{e}}^{-x}{x}^0$ ergibt sich:

$⟨L_n,L_n⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^0\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^0\right)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-[{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^{\mathrm{\infty }}=1$.

Wird nun für $n>0$ das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:

$⟨L_n,L_n⟩=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k}{k!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)\mathrm{d}x+\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)\mathrm{d}x.$

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt $⟨L_{(n-1)},L_n⟩=0$, wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:

$\begin{array}{cc}⟨L_n,L_n⟩& =\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{(-1{)}^n}{n!}\left[x^n\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-1)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-1)}}\right({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n){]}_0^{\mathrm{\infty }}-n\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{(n-1)}\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-1)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-1)}}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n)\mathrm{d}x\end{array}$

Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^n\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-1)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-1)}}\left({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\right)={\sum }_{k=0}^{n-1}\underset{x\to 0}{\lim }{x}^n\frac{1}{n!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\left({\mathrm{e}}^{-x}{)}^k\right(x^n{)}^{(n-k)}=0$. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ erhalten. Da dieses Ergebnis für alle $n$ partiellen Integrationen gilt, folgt:

$\begin{array}{cc}⟨L_n,L_n⟩& =(-1{)}^{1}n\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{(n-1)}\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-1)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-1)}}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n)\mathrm{d}x\\ & =(-1{)}^{2}n(n-1)\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{(n-2)}\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-2)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-2)}}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n)\mathrm{d}x\\ & ⋮\\ & =(-1{)}^{n}n!\frac{(-1{)}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{(n-n)}\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{(n-n)}}{\mathrm{d}{x}^{(n-n)}}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^n)\mathrm{d}x\\ & =\frac{(-1{)}^{2n}}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\mathrm{d}x\end{array}$

Mittels weiterer $n$-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\mathrm{d}x=n!$ und somit:

$⟨L_n,L_n⟩=1$.

Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:

$⟨L_n,L_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{L}_n(x)L_m(x)\mathrm{d}x={\delta }_{nm}.$

$◻$

Erzeugende Funktion

Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\frac{1}{1-t}{e}^{-\frac{tx}{1-t}}$

Zugeordnete Laguerre-Polynome

Einige zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

$L_n^k(x)=(-1{)}^k\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{L}_{n+k}(x)k=0,1,\dots$

zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet

$L_n^k(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x{x}^{-k}}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}({\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n+k}).$

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung

$x{y}^{″}(x)+(k+1-x)y^{\prime }(x)+ny(x)=0,n=0,1,\dots$

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

$L_0^k(x)=1$

$L_1^k(x)=-x+k+1$

$L_2^k(x)=\frac{1}{2}[x^2-2(k+2)x+(k+1)(k+2)]$

$L_3^k(x)=\frac{1}{6}[-x^3+3(k+3)x^2-3(k+2)(k+3)x+(k+1)(k+2)(k+3)]$

Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel

$(n+1)L_{n+1}^k(x)=(2n+1+k-x)L_n^k(x)-(n+k)L_{n-1}^k(x)$

verwenden.

Der Sturm-Liouville-Operator lautet

$ℒ=-{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{k+1}{\mathrm{e}}^{-x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)$

und mit der Gewichtsfunktion ${\mathrm{e}}^{-x}$ gilt:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^k{L}_m^k(x)L_n^k(x)\mathrm{d}x=0m\ne n$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^k{(L_n^k(x))}^2\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{n!}n=0,1,\dots$

Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrücken:

$L_n^k(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{xt}{1-t}}}{(1-t{)}^{k+1}{t}^{n+1}}dt,$

Dabei ist $C$ ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

Asymptotische Analysis

• Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als

$R_{nl}(r)=D_{nl}{\mathrm{e}}^{-\kappa r}(2\kappa r{)}^l{L}_{n-l-1}^{2l+1}(2\kappa r)$

(Normierungskonstante $D_{nl}$, charakteristische Länge $\kappa$, Hauptquantenzahl $n$, Bahndrehimpulsquantenzahl $l$). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch

${\mathrm{\Psi }}_{n,l,m}(r,\vartheta ,\phi )=\sqrt{\frac{4(n-l-1)!}{(n+l)!n(n{a}_0/Z{)}^3}}{\left[\frac{2r}{n{a}_0/Z}\right]}^l\exp \{-\frac{r}{n{a}_0/Z}\}{L}_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2r}{n{a}_0/Z}\right)Y_{l,m}(\vartheta ,\phi )$

gegeben, mit der Hauptquantenzahl $n$, der Bahndrehimpulsquantenzahl $l$, der magnetischen Quantenzahl $m$, dem bohrschen Radius $a_0$ und der Kernladungszahl $Z$. Die Funktionen $L_n^l(r)$ sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, $Y_{l,m}(\vartheta ,\phi )$ die Kugelflächenfunktionen.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:Webarchiv. Bei: ipf.uni-stuttgart.de.
• Laguerre’sche Funktionen. Bei: stellarcom.org.
• Radiale Wellenfunktionen, Laguerre-Polynome. Bei: physik.uni-ulm.de.