sl(2,C)

Vorlage:Dieser Artikel In der Mathematik ist die Lie-Algebra $𝔰𝔩(2,ℂ)$ der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die $𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die $𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,ℂ)$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper $ℂ$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra $𝔰𝔲(2)$ und die Lie-Algebra $𝔰𝔩(2,ℝ)$.

Die Gruppe $SL(2,ℂ)$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen $S{O}_0(3,1)$ ist.

Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum $g=⟨\{x,y,h\}{⟩}_{ℂ}$. Die $𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

$[x,y]=h,[h,x]=2x,[h,y]=-2y$

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

$x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

Durch die Definition des Kreuzproduktes in ${ℂ}^3$ und der folgenden Vektoren

$x=(1,\mathrm{i},0),y=(-1,\mathrm{i},0),h=(0,0,2\mathrm{i})$

ergibt sich die gleiche Algebra:

$x\times y=h,h\times x=2x,h\times y=-2y$

Eigenschaften

$𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei $𝔞$ ein nichttriviales Ideal in $𝔰𝔩(2,ℂ)$ und sei $ax+bh+cy\in 𝔞\setminus 0$ mit $a,b,c\in ℂ$. Wenn $a=c=0$, dann $h\in 𝔞$, damit $2x=[h,x]\in 𝔞$ und $2y=[h,y]\in 𝔞$, also $𝔞=𝔰𝔩(2,ℂ)$. Also können wir $a=0$ oder $c=0$ annehmen, o. B. d. A $a=0$. Aus $[y,[y,ax+bh+cy]]=[y,-ah+2by]=-2ay$ folgt dann $y\in 𝔞$ und damit auch $h=[x,y]\in 𝔞$, also wieder $𝔞=𝔰𝔩(2,ℂ)$.

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)

Killing-Form

Die Killing-Form von $𝔰𝔩(2,ℂ)$ lässt sich explizit durch die Formel

$B(v,w)=4\mathrm{Spur}(vw)$

berechnen, es ist also

$B(x,x)=B(y,y)=0,B(h,h)=8$

$B(x,y)=4,B(x,h)=B(y,h)=0.$

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe $SL(2,ℂ)$ ist $K=SU(2)$, ihre Lie-Algebra $𝔨=𝔰𝔲(2)$ wird von $i(x+y),x-y$ und $ih$ aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von $𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist gegeben durch

$\theta (A)=-\stackrel{T}{\stackrel{‾}{A}}$.

$𝔨=𝔰𝔲(2)$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert $1$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

$𝔰𝔩(2,ℂ)=𝔨\oplus 𝔭$,

wobei $𝔭=\{A\in 𝔰𝔩(2,ℂ):A=\stackrel{T}{\stackrel{‾}{A}}\}$ der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von $𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist

$𝔰𝔩(2,ℂ)=𝔨\oplus 𝔞\oplus 𝔫$

mit $𝔨=𝔰𝔲(2),𝔞=\{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right):\lambda \in ℝ\},𝔫=\{\left(\begin{array}{cc}0& n\\ 0& 0\end{array}\right):n\in ℂ\}$.

Reelle Formen

Die $𝔰𝔩(2,ℂ)$ hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist $𝔰𝔲(2)$, ihre spaltbare reelle Form ist $𝔰𝔩(2,ℝ)$.

Cartan-Unteralgebren

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

${𝔥}_0=\{\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right):\lambda \in ℂ\}$.

${𝔥}_0$ ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra $𝔥\subset 𝔰𝔩(2,ℂ)$ ist zu ${𝔥}_0$ konjugiert, d. h., sie ist von der Form

$𝔥=g{𝔥}_0{g}^{-1}:=\{gh{g}^{-1}:h\in {𝔥}_0\}$

für ein $g\in SL(2,ℂ)$.

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu ${𝔥}_0$ ist

$R=\{{\alpha }_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),{\alpha }_{21}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\}$.

Die dualen Wurzeln sind

${\alpha }_{12}^{*}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right)=2\lambda ,{\alpha }_{12}^{*}\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& -\lambda \end{array}\right)=-2\lambda$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${𝔤}_{{\alpha }_{12}}=ℂ\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{𝔤}_{{\alpha }_{21}}=ℂ\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe $S_2$.

Siehe auch

• Darstellungstheorie der sl(2,C)

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${𝔰𝔩}_2$ PDF
• Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF