Kenmotsu-Mannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kenmotsu-Mannigfaltigkeiten ein 1972 von Katsuei Kenmotsu eingeführtes Konzept. Kenmotsu bewies, dass die nach ihm benannten Mannigfaltigkeiten lokal die Struktur eines verzerrten Produktes $[0,1]{\times }_{f}N$ mit einer Kähler-Mannigfaltigkeit $N$ und $f(t)=s{e}^t$ für ein $s=0$ haben.

Metrische Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten

Eine metrische Fast-Kontaktmannigfaltigkeit ist eine Fast-Kontaktmannigfaltigkeit $M$, deren Fast-Kontaktstruktur durch ein Vektorfeld $\xi$, eine 1-Form $\eta$ und eine faserweise lineare Abbildung $\varphi :TM\to TM$ mit den punktweisen Bedingungen $\eta (\xi )=1$ und $\eta (v)\xi =\varphi (\varphi (v))+v$ für alle $v\in TM$ gegeben ist, zusammen mit einer Riemannschen Metrik, bezüglich der $\xi$ Länge 1 hat und orthogonal zu $ker(\eta )$ ist und mit der $g{\mid }_{ker(\eta )}$ bezüglich der fast-komplexen Struktur $\varphi {|}_{ker(\eta )}$ eine Hermitesche Metrik ist.

Eine metrische Fast-Kontaktmannigfaltigkeit heißt normal, wenn für den Nijenhuis-Tensor ${𝒩}_{\varphi }$ die Gleichung ${𝒩}_{\varphi }(X,Y)=2d\eta (X,Y)\xi$ für alle Vektorfelder $X,Y$ gilt.

Kenmotsu-Mannigfaltigkeiten

Eine Kenmotsu-Mannigfaltigkeit ist eine metrische Fast-Kontaktmannigfaltigkeit, für deren Levi-Civita-Zusammenhang in lokalen Koordinaten die Gleichungen

${\mathrm{\nabla }}_i{\varphi }_j^k=-{\eta }_j{\varphi }_i^k-g_{ip}{\varphi }_j^p{\xi }^k$

gelten.

Literatur

• K. Kenmotsu: A class of almost contact Riemannian manifolds. Tohoku Mathematics Journal 24, 93–103 (1972)