Satz von Baily und Borel

Der Satz von Baily und Borel ist ein Lehrsatz der Mathematik, der insbesondere für die Konstruktion von Shimura-Varietäten von Bedeutung ist.

Sei $D$ ein hermitescher symmetrischer Raum und $\mathrm{\Gamma }$ eine torsionsfreie arithmetische Untergruppe von ${\mathrm{Hol}}^{+}(D)$, der Zusammenhangskomponente der Eins der Gruppe holomorpher Automorphismen von $D$. Dann besagt der Satz von Bailey und Borel, dass $D(\mathrm{\Gamma }):=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }D$ als Zariski-offene Teilmenge einer projektiven Varietät $D(\mathrm{\Gamma }{)}^{*}$ realisiert werden kann und also eine algebraische Varietät ist.

Die Idee des Beweises ist, dass man $D(\mathrm{\Gamma }{)}^{*}$ durch Adjunktion gewisser „rationaler“ Randpunkte zu $D(\mathrm{\Gamma })$ gewinnt (Satake-Kompaktifizierung) und dass durch die automorphen Formen von hinreichend großem Gewicht dann $D(\mathrm{\Gamma }{)}^{*}$ als abgeschlossener Unterraum in einen projektiven Raum eingebettet werden kann. Beispielsweise kann man für $D={ℍ}^2$ (die hyperbolische Ebene) $D(\mathrm{\Gamma }{)}^{*}=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }({ℍ}^2\cup P^1\mathbb{Q})$ wählen, also die endlich vielen Spitzen von $\mathrm{\Gamma }$ hinzunehmen.

Literatur

• W. Baily, A. Borel: Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains. Ann. of Math. (2) 84, 442–528, 1966.