Satz von Mather-Thurston

In der Mathematik ist der Satz von Mather-Thurston ein Lehrsatz aus der geometrischen Topologie. Er ist nach John Mather und William Thurston benannt.

Er besagt, dass man für jede Mannigfaltigkeit $M$ einen Isomorphismus von Kohomologiegruppen

$H^{*}(\text{Homeo}(M);\mathbb{Z})\cong H^{*}(B\text{Homeo};\mathbb{Z})$

hat. Dabei ist die linke Seite die Gruppenkohomologie der Gruppe $\text{Homeo}(M)$ der Homöomorphismen von $M$ und die rechte Seite die Kohomologie des klassifizierenden Raums $B\text{Homeo}(M)$ dieser Homöomorphismengruppe mit der Kompakt-Offen-Topologie. Der Isomorphismus wird von der stetigen Abbildung $\text{Homeo}(M{)}^{\delta }\to \text{Homeo}(M)$ induziert, wobei die linke Seite die Homöomorphismengruppe mit der diskreten Topologie ist.

Im Fall orientierter Mannigfaltigkeiten erhält man entsprechend für die Gruppe ${\text{Homeo}}^{+}(M)$ der orientierungstreuen Homöomorphismen einen Isomorphismus $H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb{Z})\cong H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb{Z})$. Beispielsweise für $M=S^1$, den Kreis, ist ${\text{Homeo}}^{+}(S^1)$ homotopie-äquivalent zu $S^1=U(1)$, also $H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(S^1);\mathbb{Z})\cong H^{*}(BU(1);\mathbb{Z})\cong H^{*}(ℂP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\left[e\right]$, und man erhält, dass $H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(S^1);\mathbb{Z})$ von der Euler-Klasse $e\in H^2({\text{Homeo}}^{+}(S^1);\mathbb{Z})$ erzeugt wird.

Eine andere Formulierung des Satzes von Mather-Thurston besagt, dass für $M={ℝ}^p$ und alle $r\ge 0$ die Abbildung $H_{*}({\text{Diff}}_K^r({ℝ}^p);\mathbb{Z})\to H_{*}({\mathrm{\Omega }}^p(B{\mathrm{\Gamma }}_p^r);\mathbb{Z})$ ein Isomorphismus von Homologiegruppen (aber keine Homotopie-Äquivalenz) ist. Hier ist ${\text{Diff}}_K^r({ℝ}^p)$ die Gruppe der $C^r$-Diffeomorphismen mit kompaktem Träger, $B{\mathrm{\Gamma }}_p^r$ der klassifizierende Raum der Haefliger-Strukturen (bezüglich der diskreten Topologie) und ${\mathrm{\Omega }}^p(B{\mathrm{\Gamma }}_p^r)$ sein $p$-fach iterierter Schleifenraum.

Aus dem Satz von Mather-Thurston folgt beispielsweise, dass $B{\mathrm{\Gamma }}_p^{\mathrm{\infty }}$ ein $(p+1)$-zusammenhängender Raum ist. Die Topologie des klassifizierenden Raumes $B{\mathrm{\Gamma }}_p^{\mathrm{\infty }}$ ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Verständnis der Kodimension-$p$-Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• W. Thurston: Foliations and groups of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 304–307
• T. Tsuboi: Homology of diffeomorphism groups, and foliated structures, Sūgaku 36(4), 320–343
• T. Tsuboi: Classifying spaces for groupoid structures, Contemp. Math. 498, 67–81
• S. Nariman: A local to global argument on low dimensional manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 373(2), 1307–1342