Whitehead-Turm

In der Mathematik ist der Whitehead-Turm eines topologischen Raumes ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Homotopiegruppen.

Definition

Es sei $X$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Whitehead-Turm von $X$ ist eine Folge

$\dots \to X_n\to X_{n-1}\to \dots \to X_2\to X_1\to X_0=X$

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle $n$ ist $X_n\to X_{n-1}$ eine Faserung, deren Faser ein Eilenberg-MacLane-Raum $K({\pi }_{n}X,n-1)$ ist
• $X_n$ ist $n$-zusammenhängend, d. h. für alle $k\le n$ ist ${\pi }_k{X}_n=0$
• für alle $k>n$ ist ${\pi }_k{X}_n={\pi }_{k}X$.

Konstruktion

$X_1$ ist die universelle Überlagerung von $X$.

$X_n$ wird aus $X_{n-1}$ wie folgt konstruiert. Zunächst kann man $X_{n-1}$ in einen Raum $Y_n$ vom schwachen Homotopietyp des $K({\pi }_{n}X,n)=K({\pi }_n{X}_{n-1},n)$ einbetten, indem man sukzessive alle Homotopiegruppen der Dimensionen $n+1,n+2,\dots$ durch Ankleben von Zellen der Dimensionen $n+2,n+3,\dots$ „tötet“. Dann definiert man $X_n={\mathrm{\Omega }}_{*}^{X_{n-1}}\subset \mathrm{\Omega }K({\pi }_{n}X,n)$ als Raum aller Wege in $K({\pi }_{n}X,n)$, die in einem Basispunkt $*$ starten und in $X_{n-1}$ enden.

Die "Endpunkt"-Projektion $X_n\to X_{n-1}$ ist eine Faserung, deren Faser der Schleifenraum $\mathrm{\Omega }{Y}_n$ ist. Dieser hat den schwachen Homotopietyp eines $K({\pi }_{n}X,n-1)$.

Falls $X$ ein CW-Komplex ist, dann ist die Faser ein CW-Komplex und insbesondere also nach dem Satz von Whitehead ein $K({\pi }_{n}X,n-1)$. Falls zusätzlich die höheren Homotopiegruppen ${\pi }_{k}X,k\ge 2$ endlich erzeugt sind, dann ist der $K({\pi }_{n}X,n-1)$ homotopieuaquivalent zu einer topologischen abelschen Gruppe und die Konstruktion lässt sich so durchführen, dass für $n>1$ die Faserungen $X_n\to X_{n-1}$ Prinzipalbündel mit abelscher Strukturgruppe sind.

Siehe auch

• Postnikow-Turm

Literatur

• H. Cartan, J.-P. Serre: Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales. C. R. Acad. Sci. Paris 234, (1952).
• G. W. Whitehead: Fiber spaces and the Eilenberg homology groups. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 38, (1952). 426–430. Vorlage:PMC
• R. Bott, L. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4.