Bloch-Gruppe

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Bloch-Gruppe ein Ansatz zur expliziten Beschreibung der 3. algebraischen K-Theorie von Körpern. Sie ist auch von Bedeutung bei der Untersuchung von Dilogarithmen, bei der Formalisierung des 3. Hilbertschen Problems und in der Topologie 3-dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und

$\mathbb{Z}[K\setminus \{0,1\}]$

die von $K\setminus \{0,1\}$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe. Wir bezeichnen mit $\left[x\right]$ das $x\in K\setminus \{0,1\}$ entsprechende Element von $\mathbb{Z}[K\setminus \{0,1\}]$.

Die Prä-Bloch-Gruppe $𝔭(K)$ ist als Quotient von $\mathbb{Z}[K\setminus \{0,1\}]$ modulo der von allen "5-Term-Relationen"

$\left[x\right]-\left[y\right]+\left[\frac{y}{x}\right]-\left[\frac{1-x^{-1}}{1-y^{-1}}\right]+\left[\frac{1-x}{1-y}\right],x,y\in K\setminus \{0,1\}$

erzeugten Untergruppe definiert.

Ein Homomorphismus

$\varphi :\mathbb{Z}[K\setminus \{0,1\}]\to K^{*}{\otimes }_{\mathbb{Z}}{K}^{*}$

wird definiert durch

$\varphi \left(\sum _i{\lambda }_i{z}_i\right)=\sum _i{\lambda }_i{z}_i\otimes (1-z_i)$

für ${\lambda }_i\in \mathbb{Z},z_i\in K\setminus \{0,1\}$. Man rechnet nach, dass $\varphi$ einen wohldefinierten Homomorphismus

$D:𝔭(K)\to (K^{*}\otimes K^{*})/⟨x\otimes y-y\otimes x:x,y\in K^{*}⟩$

induziert. Dieser Homomorphismus wird wegen des Zusammenhangs zu Hilberts 3. Problem als Dehn-Invariante bezeichnet.

Die Bloch-Gruppe $\mathrm{B}(K)\subset 𝔭(K)$ ist als Kern von $D$ definiert.

Aus der Definition der Bloch-Gruppe und dem Satz von Matsumoto folgt, dass die Blochgruppe Teil einer exakten Sequenz

$0⟶\mathrm{B}(K)⟶𝔭(K)\stackrel{D}{⟶}{\wedge }^2{K}^{*}⟶{\mathrm{K}}_2(K)⟶0$

ist. Diese Sequenz wird als Bloch-Suslin-Komplex bezeichnet und gelegentlich auch als Definition der Bloch-Gruppe verwendet.

Geometrische Interpretation

Es sei $P^{1}K$ die projektive Gerade über dem Körper $K$ und

$(C_{*}(P^{1}K),d_{*})$

der Kettenkomplex, dessen $i$-te Gruppe $C_i(P^{1}K)$ die von den $(i+1)$-Tupeln

$(x_0,\dots ,x_i)$

paarweise verschiedener Punkte $x_k\in P^{1}K$ formal erzeugte freie abelsche Gruppe und dessen Differential $d_i:C_i(P^{1}K)\to C_{i-1}(P^{1}K)$ durch die Formel

$d_i(x_0,\dots ,x_i)=\sum _{k=0}^i(-1{)}^k(x_0,\dots ,x_{k-1},x_{k+1},\dots ,x_i)$

gegeben ist. Dann ist

$𝔭(K)=H_3(C_{*}(P^{1}K){\otimes }_{\mathbb{Z}G}\mathbb{Z},d\otimes id)$

für die Wirkung von $G:=PGL(2,K)$ auf $P^{1}K$.

Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus

$H_3(PGL(2,K)\to 𝔭(K)$,

der von der durch

$g\to g.\mathrm{\infty }$

gegebenen Abbildung

$PGL(2,K)\to P^1(K)$

induziert wird. (Die Wahl von $\mathrm{\infty }\in P^{1}K$ als Basispunkt ist willkürlich, Wahl eines anderen Basispunktes würde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren.) Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in $B(K)$.

Unter dem Isomorphismus $H_3(C_{*}(P^{1}K){\otimes }_{\mathbb{Z}G}\mathbb{Z},d\otimes id)\to 𝔭(K)$ entspricht ein 4-Tupel von Elementen aus $P^{1}K$ seinem Doppelverhältnis. Entsprechend bildet also der Homomorphismus

$H_3(PGL(2,K)\to 𝔭(K)$

ein 4-Tupel $(g_0,g_1,g_2,g_3)$ auf das Doppelverhältnis der 4 Punkte $g_0\mathrm{\infty },g_1\mathrm{\infty },g_2\mathrm{\infty },g_3\mathrm{\infty }$ ab.

Bloch-Wigner-Folge

Für algebraisch abgeschlossene Körper $K$gibt es eine exakte Sequenz

$0⟶{\mu }_K⟶H_3(SL(2,K))⟶𝔭(K)⟶{\wedge }^2(K^{*}/{\mu }_K)⟶H_2(SL(2,K))⟶0$,

wobei ${\mu }_K$ die Einheitswurzeln in $K$ bezeichnet.

Eine unmittelbare Konsequenz ist die exakte Sequenz

$0⟶{\mu }_K⟶H_3(SL(2,K))⟶B(K)⟶0$.

Für $K=ℂ$ erhält man die exakte Sequenz

$0⟶\mathbb{Q}/\mathbb{Z}⟶H_3(SL(2,ℂ))⟶B(ℂ)⟶0$.

Um den $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-Summanden zu integrieren, definierte W. Neumann für $K=ℂ$ die erweiterte Bloch-Gruppe $\hat{B}(ℂ)$. Diese ist isomorph zu $H_3(SL(2,ℂ))$.

Bloch-Gruppe und Bloch-Wigner-Dilogarithmus

Der für $z\in ℂ\setminus \{0,1\}$ definierte Bloch-Wigner-Dilogarithmus

${\mathrm{D}}_2(z)=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_2(z))+\arg (1-z)\log |z|$

erfüllt die Funktionalgleichung

${\mathrm{D}}_2(x)+{\mathrm{D}}_2(y)+{\mathrm{D}}_2\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)+{\mathrm{D}}_2(1-xy)+{\mathrm{D}}_2\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)=0$

und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung

${\mathrm{D}}_2(z):ℬ(ℂ)\to ℂ$.

Der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung $F:ℂ\setminus \{0,1\}\to ℝ$, die die Funktionalgleichung

$F(x)-F(y)+F\left(\frac{y}{x}\right)-F\left(\frac{1-x^{-1}}{1-y^{-1}}\right)+F\left(\frac{1-x}{1-y}\right)$

für alle $x,y\in ℂ\setminus \{0,1\}$ erfüllt. Man kann die Definition der Bloch-Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe, auf der der Bloch-Wigner-Dilogarithmus wohldefiniert ist. Verallgemeinerungen dieses Ansatzes für höhere Polylogarithmen führen zu Definitionen höherer Bloch-Gruppen.

Algebraische Eigenschaften

Wenn $K$ unendlich ist, dann hängt das Element

$[z]+[1-z]\in \mathrm{B}(K)$

nicht von $z\in K\setminus \{0,1\}$ ab. Es wird mit $c_K$ bezeichnet und erfüllt die Relation $6c_K=0\in \mathrm{B}(K)$.

Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist $\mathrm{B}(K)$ eine teilbare Gruppe. Weiterhin gelten dann für $z\in K\setminus \{0,1\}$ die Relationen

$\left[z\right]+[1-z]=0$

$\left[z\right]+\left[\frac{1}{z}\right]=0$

und man kann Symbole $\left[0\right]=\left[1\right]=\left[\mathrm{\infty }\right]=0$ einführen, mit denen alle 5-Term-Relationen Gültigkeit behalten.

Insbesondere gilt $c_K=0$ für algebraisch abgeschlossene, unendliche Körper. Aus den obigen Relationen folgt dann $\left[z\right]=[1-\frac{1}{z}]=\left[\frac{1}{1-z}\right]$ für alle z.

Anwendungen

Bloch-Gruppe und Homologie der linearen Gruppe

Anwendung des durch die Wirkung von $GL(2,K)$ auf der projektiven Geraden $P^{1}K$ definierten kanonischen Homomorphismus $C_{*}(GL(2,K))\to C_{*}(P^{1}K)$ (siehe die geometrische Interpretation oben) liefert einen Isomorphismus

$H_3(GL(2,K))/H_3(GM(2,K))\cong B(K)$,

wobei $GM(2,K)\subset GL(2,K)$ die die Gruppe der monomialen Matrizen bezeichnet.

Für größere $n$ erhält man einen Isomorphismus

$H_3(GL(n,K))/H_3(GM(n,K))\cong B(K)/2c_K$

für das oben definierte Element $c_K:=\left[x\right]+[1-x]\in B(K)$ der Ordnung maximal 6.

Eine explizite Realisierung von $H_3(SL(2,ℂ))$ liefert die von Neumann definierte erweiterte Bloch-Gruppe $\hat{\mathrm{B}}(ℂ)$.

Bloch-Gruppe und K-Theorie

Dieselbe Abbildung induziert einen Isomorphismus

$\mathrm{coker}({\pi }_3(\mathrm{BGM}(K{)}^{+})\to {\mathrm{K}}_3(K))\cong \mathrm{B}(K)/2c_K$

wobei $BGM(K{)}^{+}$ die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum $BGM(K)$ bezeichnet.

Bezeichne $K_3^M$ die Milnorsche K-Theorie, dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz

$0\to \mathrm{Tor}(K^{*},K^{*}{)}^{\sim }\to {\mathrm{K}}_3(K{)}_{ind}\to \mathrm{B}(K)\to 0$

mit K₃(K)_ind = coker(K₃^M(K) → K₃(K)) und Tor(K^*, K^*)^~ die eindeutige nichttriviale Erweiterung von Tor(K^*, K^*) mit Z/2, oder äquivalent

$0\to \widetilde{{\mu }_K}\to {\mathrm{K}}_3(K{)}_{ind}\to \mathrm{B}(K)\to 0$,

wobei ${\mu }_K$ die Gruppe der Einheitswurzeln von K und $\widetilde{{\mu }_K}$ die nichttriviale Erweiterung von ${\mu }_K$ mit $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (bzw. in Charakteristik 2: $\widetilde{{\mu }_K}={\mu }_K$) bezeichnet.

Bloch-Gruppe und hyperbolische Geometrie

Für $K=ℂ$ ist $C_3(P^1ℂ)$ die von den nicht-ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe. Das einem Simplex unter dem Isomorphismus

$H_3(C_{*}(P^1ℂ){\otimes }_{\mathbb{Z}G}\mathbb{Z})\cong 𝔭(ℂ)$

entsprechende Element $z$ ist das Doppelverhältnis der 4 Ecken, der Bloch-Wigner-Dilogarithmus $D_2(z)$ gibt das Volumen des idealen Simplexes.

Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten. Sei $M$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien $z_1,\dots ,z_r$ die Doppelverhältnisse der Simplizes, dann ist

$\left[z_1\right]+\dots +\left[z_r\right]$

ein Element von $B(ℂ)$ (die Dehn-Invariante ist Null) und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit, aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch-Wigner-Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann.

Bloch-Gruppe und sekundäre charakteristische Klassen

Mittels der Bloch-Gruppe und des Rogers-Dilogarithmus kann man explizite Formeln für die sekundären charakteristische Klassen ${\hat{p}}_1$ und ${\hat{c}}_2$ angeben, wobei man für den Realteil von ${\hat{c}}_2$ den erweiterten Rogers-Dilogarithmus und die erweiterte Bloch-Gruppe benötigt.

Literatur

• Spencer Bloch: Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-2114-8
• Johan Dupont, Chi Han Sah: Scissors congruences. II. J. Pure Appl. Algebra 25 (1982), no. 2, 159–195.
• Andrei Suslin: K₃ of a field, and the Bloch group. (Russisch, ins Englische übersetzt in: Proc. Steklov Inst. Math. 1991, no. 4, 217–239.) Galois theory, rings, algebraic groups and their applications (russisch). Trudy Mat. Inst. Steklov. 183 (1990), 180–199, 229.
• Johan Dupont: Scissors congruences, group homology and characteristic classes. Nankai Tracts in Mathematics, 1. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001. ISBN 981-02-4507-6; 981-02-4508-4